【bzoj1778】[Usaco2010 Hol]Dotp 驱逐猪猡 矩阵乘法+概率dp+高斯消元

题目描述

奶牛们建立了一个随机化的臭气炸弹来驱逐猪猡。猪猡的文明包含1到N (2 <= N <= 300)一共N个猪城。这些城市由M (1 <= M <= 44,850)条由两个不同端点A_j和B_j (1 <= A_j<= N; 1 <= B_j <= N)表示的双向道路连接。保证城市1至少连接一个其它的城市。一开始臭气弹会被放在城市1。每个小时（包括第一个小时），它有P/Q (1 <= P <=1,000,000; 1 <= Q <= 1,000,000)的概率污染它所在的城市。如果这个小时内它没有污染它所在的城市，那麽它随机地选择一条道路，在这个小时内沿着这条道路走到一个新的城市。可以离开这个城市的所有道路被选择的概率均等。因为这个臭气弹的随机的性质，奶牛们很困惑哪个城市最有可能被污染。给定一个猪猡文明的地图和臭气弹在每个小时内爆炸的概率。计算每个城市最终被污染的概率。如下例，假设这个猪猡文明有两个连接在一起的城市。臭气炸弹从城市1出发，每到一个城市，它都有1/2的概率爆炸。 1--2 可知下面这些路径是炸弹可能经过的路径（最后一个城市是臭气弹爆炸的城市）： 1: 1 2: 1-2 3: 1-2-1 4: 1-2-1-2 5: 1-2-1-2-1 ... 要得到炸弹在城市1终止的概率，我们可以把上面的第1，第3，第5……条路径的概率加起来，（也就是上表奇数编号的路径）。上表中第k条路径的概率正好是(1/2)^k，也就是必须在前k-1个回合离开所在城市（每次的概率为1 - 1/2 = 1/2）并且留在最后一个城市（概率为1/2）。所以在城市1结束的概率可以表示为1/2 + (1/2)^3 + (1/2)^5 + ...。当我们无限地计算把这些项一个个加起来，我们最后会恰好得到2/3，也就是我们要求的概率，大约是0.666666667。这意味着最终停留在城市2的概率为1/3，大约为0.333333333。

输入

* 第1行: 四个由空格隔开的整数: N, M, P, 和 Q * 第2到第M+1行: 第i+1行用两个由空格隔开的整数A_j和B_j表示一条道路。

输出

* 第1到第N行: 在第i行，用一个浮点数输出城市i被摧毁的概率。误差不超过10^-6的答桉会 被接受（注意这就是说你需要至少输出6位有效数字使得答桉有效）。

样例输入

2 1 1 2
1 2

样例输出

0.666666667
0.333333333

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题解

矩阵乘法+概率dp+高斯消元

%PoPoQQQ，大爷就是强啊

设S为初始炸弹出现在每个位置的概率，那么显然S=[1,0,0,...,0]

设T为炸弹移动的矩阵，T[i][j]表示从i不爆炸且移动到j的概率，那么如果i到j有边，则T[i][j]=(1-p/q)/d[i]，否则T[i][j]=0，易知T[i][j]<1-p/q。

根据定义，很容易得知(T*T)[i][j]<(1-p/q)^2，(T*T*T)[i][j]<(1-p/q)^3，...，$T^\infty$[i][j]<$(1-p/q)^\infty$=0。

而炸弹在第1s内爆炸的概率为$\frac pqS$，第2s内爆炸的概率为$\frac pqST$，第3s内爆炸的概率为$\frac pqST^2$，...

故答案ANS（炸弹在每个位置爆炸的概率）有如下关系：

其中，I表示单位矩阵，第一个式子使用了等比数列求和公式，而第二个式子将已知矩阵I-T乘到左端。

然后我们可以发现I-T、p/q*S都是已知矩阵，只有ANS未知，并且ANS是一个1*n的矩阵，只有n个未知数。

所以我们可以设这些未知数分别为x1、x2、...、xn，然后根据已知条件列出方程，使用高斯消元求解。

#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#define N 310
#define M 90010
using namespace std;
int x[M] , y[M] , d[N] , n;
double a[N][N];
void gauss()
{
	int i , j , k;
	double t;
	for(i = 1 ; i <= n ; i ++ )
	{
		for(k = 0 , j = i ; j <= n ; j ++ )
			if(fabs(a[j][i]) > fabs(a[k][i]))
				k = j;
		for(j = i ; j <= n + 1 ; j ++ ) swap(a[i][j] , a[k][j]);
		for(j = i + 1 ; j <= n ; j ++ )
			for(t = a[j][i] / a[i][i] , k = i ; k <= n + 1 ; k ++ )
				a[j][k] -= t * a[i][k];
	}
	for(i = n ; i >= 1 ; i -- )
	{
		for(j = i + 1 ; j <= n ; j ++ ) a[i][n + 1] -= a[i][j] * a[j][n + 1];
		a[i][n + 1] /= a[i][i];
	}
}
int main()
{
	int m , p , q , i;
	scanf("%d%d%d%d" , &n , &m , &p , &q);
	for(i = 1 ; i <= m ; i ++ ) scanf("%d%d" , &x[i] , &y[i]) , d[x[i]] ++ , d[y[i]] ++ ;
	for(i = 1 ; i <= m ; i ++ ) a[x[i]][y[i]] = ((double)p / q - 1) / d[y[i]] , a[y[i]][x[i]] = ((double)p / q - 1) / d[x[i]];
	for(i = 1 ; i <= n ; i ++ ) a[i][i] = 1;
	a[1][n + 1] = (double)p / q;
	gauss();
	for(i = 1 ; i <= n ; i ++ ) printf("%.9lf\n" , a[i][n + 1]);
	return 0;
}