P4443 [COCI2017-2018#3] Dojave（线段树）

传送门

设\(lim=2^n-1\)，对于一个区间\([l,r]\)来说，如果\(sum\neq lim\)且能换出\(x\)并换进\(y\)来，使得\(sum\bigoplus a_x\bigoplus a_y=lim\)，那么\(a_x\bigoplus a_y\)是个定值，所以如果对于每一个\(x\)，它对应的\(y\)都在\([l,r]\)之间，这个区间就是不合法的

因为有一一对应关系，所以整个区间是由若干个二元组构成的，\(sum\)不管异或上哪个二元组都等于\(lim\)，所以如果二元组个数为偶数，所有二元组异或起来为\(0\)，\(sum\)也为\(0\)，如果二元组个数是奇数，那么\(sum\)就等于二元组的值，则有\(a_x\bigoplus a_y=lim\)

综上，一个区间不合法当且仅当这个区间长度为\(4\)的倍数且这个区间内每一个的\(x\)，与它对应的\(a_x\bigoplus a_y=lim\)的\(y\)都在区间内

那么把每个点和它对应的\(y\)连边，那么这个区间内就不能有边连到外面。记\(cnt_i\)为点\(i\)被边覆盖的次数，那么当\(i\)作为不合法区间的右端点时，最右边的能作为这个不合法区间左端点的为\(j\)，满足\(cnt_j=cnt_i\)，且对于任意\(j<p<i\)，\(cnt_p\neq cnt_i\)，简单来说就是前面一个与它覆盖次数相等的点

然而这个点不一定合法，所以可以用线段树之类的来做一下判定

记\(dp_{i,0/1}\)为以\(i\)为右端点的，长度\(len\%4=0/2\)的区间个数，那么则有转移$$dp_{i,0}=dp_{las_i,len%4}+1$$

\[dp_{i,1}=dp_{las_i,len\%4\bigoplus1}
\]

其中\(las_i\)就是之前说的最右边的能作为不合法区间的左端点，那个要加一是要加上一个空集

//minamoto
#include<bits/stdc++.h>
#define R register
#define ls (p<<1)
#define rs (p<<1|1)
#define ll long long
#define fp(i,a,b) for(R int i=a,I=b+1;i<I;++i)
#define fd(i,a,b) for(R int i=a,I=b-1;i>I;--i)
#define go(u) for(int i=head[u],v=e[i].v;i;i=e[i].nx,v=e[i].v)
template<class T>inline bool cmax(T&a,const T&b){return a<b?a=b,1:0;}
template<class T>inline bool cmin(T&a,const T&b){return a>b?a=b,1:0;}
using namespace std;
char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf;
inline char getc(){return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;}
int read(){
    R int res,f=1;R char ch;
    while((ch=getc())>'9'||ch<'0')(ch=='-')&&(f=-1);
    for(res=ch-'0';(ch=getc())>='0'&&ch<='9';res=res*10+ch-'0');
    return res*f;
}
char sr[1<<21],z[20];int C=-1,Z=0;
inline void Ot(){fwrite(sr,1,C+1,stdout),C=-1;}
void print(R int x){
    if(C>1<<20)Ot();if(x<0)sr[++C]='-',x=-x;
    while(z[++Z]=x%10+48,x/=10);
    while(sr[++C]=z[Z],--Z);sr[++C]='\n';
}
const int N=(1<<20)+5;
struct node{int mn,mx;}tr[N<<2];
int to[N],las[N],a[N],pos[N],nxt[N],dp[N][2];
int n,m,cnt;ll ans;
void build(int p,int l,int r){
	if(l==r)return (void)(tr[p]={to[l],to[l]});
	int mid=(l+r)>>1;
	build(ls,l,mid),build(rs,mid+1,r);
	tr[p].mn=min(tr[ls].mn,tr[rs].mn);
	tr[p].mx=max(tr[ls].mx,tr[rs].mx);
}
node query(int p,int l,int r,int ql,int qr){
//	if(l<=r)printf("%d %d %d %d\n",l,r,ql,qr);
	if(ql<=l&&qr>=r)return tr[p];
	int mid=(l+r)>>1;node res={m,0};
	if(ql<=mid){
		node d=query(ls,l,mid,ql,qr);
		cmin(res.mn,d.mn),cmax(res.mx,d.mx);
	}
	if(qr>mid){
		node d=query(rs,mid+1,r,ql,qr);
		cmin(res.mn,d.mn),cmax(res.mx,d.mx);
	}return res;
}
inline bool check(int l,int r){
	node res=query(1,1,m,l,r);
	return res.mn>=l&&res.mx<=r;
}
int main(){
//	freopen("testdata.in","r",stdin);
	n=read(),m=(1<<n);
	if(n==1)return puts("2"),0;
	fp(i,1,m)a[i]=read(),pos[a[i]]=i;
	fp(i,1,m)to[i]=pos[a[i]^(m-1)];
	fp(i,1,m)if(to[i]<i)--cnt,las[i]=nxt[cnt],nxt[cnt]=i;
	else ++cnt,nxt[cnt]=i;
	ans=1ll*m*(m+1)/2;
	build(1,1,m),dp[0][0]=1;
	fp(i,1,m){
		dp[i][0]=1;
		if(to[i]>i)continue;
//		printf("%d %d\n",las[i]+1,i);
		if(check(las[i]+1,i)){
			int len=(i-las[i])%4/2;
			ans-=dp[las[i]][len];
			dp[i][0]=dp[las[i]][len]+1;
			dp[i][1]=dp[las[i]][len^1];
		}
	}printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}