Luogu 5017 NOIP2018普及组T3 摆渡车 （斜率优化 + 必要的转移进行剪枝）

题意：

　　有 n 名同学要乘坐摆渡车从人大附中前往人民大学，第 i 位同学在第 ti​ 分钟去 等车。只有一辆摆渡车在工作，但摆渡车容量可以视为无限大。摆渡车从人大附中出发、 把车上的同学送到人民大学、再回到人大附中（去接其他同学），这样往返一趟总共花费 m 分钟（同学上下车时间忽略不计）。摆渡车要将所有同学都送到人民大学。

　　凯凯很好奇，如果他能任意安排摆渡车出发的时间，那么这些同学的等车时间之和最小为多少呢？

　　本人感觉自己语文不是那么的好，无法概括。

细节：

　　咳咳，此题细节都在题意之中嘻嘻嘻，原来懒还有这个好处。

分析：

　　round1：从时间入手状态迎刃而解：f[i] 表示以 i 作为发车时间的最小等车时间之和。

　　则转移就为：f[i] = min{ f[j] + Σ_j<tk≤i i-t_k }

　　但是这个转移不免需要循环计算求和的内容，我们需要考虑将其利用 O(1) 进行计算完毕，考虑将这个式子进行打开：

　　　　Σ_j<tk≤i i-t_{k =} i×Σ_j<tk≤i 1 - Σ_j<tk≤i t_k，不难发现此时我们只需要预处理出 t_k 出现位置的前缀数组 cnt[i]，以及 t_k 出现位置的值的前缀和 sum[i]。

　　这样方程进行进一步转化：f[i] = min{ f[j] + ( cnt[i] - cnt[j] ) × i - ( sum[i] - sum[j] ) }

　　最后观察其是否存在单调性，显然上方的 1D/1D 的动态规划需要进行斜率优化了，裸体希望有这些意识吧，常规套路，最后只需要维护一个斜率：

　　　　k = ( f[j2] + sum[j2] - f[j1] - sum[j1] ) / (cnt[j2] - cnt[j1]) 单调递增即可，具体方法详见本人的第一篇博客。

　　round2：确实从时间入手是一种思路，但是对于较小的 n 和 m 很多选手应该也会有想法，不难发现对于第 i 个人对应的等待时间 t_i 它的上车时间是有一定的范围的，它就是[ ti , ti + m)，因为当超出这个范围时要么是等车的人还没来，要么等车的人能乘坐上一班车子前往目的地，所以我们可以考虑一个状态：f[i][j] 表示第 i 个人乘车切在 ti + j 的时间中上了车的最小等车时间，其状态必须保证 i + 1 这个人无法上车，且 i 之前可能有人跟 i 一起在车上。

　　不难发现对于 i 之后的一个位置 k 其中这段区间 [i+1 , k] 的人上车时间可以进行计算，tmp 表示这段人的上车时间 = t[i] + j + m - t[i+k]，所以我们出现了最原始的转移:

　　　　f[k][tmp] = f[i][j] + Σ_i+1<=x<=k(tmp + t[k] - t[x])

　　仍然需要把上方的转移优化成 O(1)，使用一个裸的前缀和就可以优化掉了：

　　　　f[k][tmp] = f[i][j] + ( tmp + t[k] ) × ( k − i ) − ( sumt[k] − sumt[i] )

　　最后这个方程仍然可以进行优化，通过把 "我为人人" -> "人人为我" 就可以再一次进行斜率优化时间复杂度就可以变为 O(n)，本人比较懒开始拒绝思考了。

代码：

Round1：

#include<bits/stdc++.h>
#define MAXT 4000505
using namespace std;

int n, m, cnt[MAXT], sum[MAXT], f[MAXT], que[MAXT], Maxt;

int main(){
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i=; i<=n; i++){
        int x;
        scanf("%d", &x);
        cnt[x]++, sum[x]+=x;
        Maxt=max(Maxt, x);
    }
    for (int i=; i<Maxt+m; i++) cnt[i]+=cnt[i-], sum[i]+=sum[i-];
    int head=, tail=;
    for (int i=; i<Maxt+m; i++){
        if (i>=m) {
            while (head<tail && (f[que[tail]]+sum[que[tail]]-f[que[tail-]]-sum[que[tail-]])*(cnt[i-m]-cnt[que[tail]])>=(f[i-m]+sum[i-m]-f[que[tail]]-sum[que[tail]])*(cnt[que[tail]]-cnt[que[tail-]])) --tail;
            que[++tail]=i-m;
        }
        while (head<tail && i*(cnt[que[head+]]-cnt[que[head]])>=(f[que[head+]]+sum[que[head+]]-f[que[head]]-sum[que[head]])) ++head;
        f[i]=cnt[i]*i-sum[i];
        if (head<=tail) f[i]=min(f[i], f[que[head]]+(cnt[i]-cnt[que[head]])*i-(sum[i]-sum[que[head]]));
    }
    int ans=;
    for (int i=Maxt; i<Maxt+m; i++) ans=min(ans, f[i]);
    printf("%d\n", ans);
    return ;
} 

Round2：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int t[],s[],f[][];
const int inf=;
inline int read()
{
    int neg=,x=;
    char c;
    while((c=getchar())<''||c>'')
        if(c=='-')
            neg=-;
    x=c-'';
    while((c=getchar())>=''&&c<='')
        x=x*+(c-'');
    return x*neg;
}
int main()
{
    int n=read(),m=read();
    for(int i=;i<=n;i++)
        t[i]=read();
    sort(t+,t+n+);
    for(int i=;i<=n;i++)
        s[i]=s[i-]+t[i];
    memset(f,0x7f,sizeof(f));
    t[]=-inf;
    f[][]=;
    for(int i=;i<=n;i++)
    {
        int MAX=min(m-,t[i+]-t[i]);
        for(int j=;j<=MAX;j++)
            if(f[i][j]!=inf)
                for(int k=;i+k<=n;k++)
                {
                    int tmp=max(t[i]+j+m-t[i+k],);
                    f[i+k][tmp]=min(f[i+k][tmp],f[i][j]+(tmp+t[i+k])*k-(s[i+k]-s[i]));
                }
    }
    int ans=inf;
    for(int i=;i<m;i++)
        ans=min(ans,f[n][i]);
    printf("%d\n",ans);
    return ;
}