poj2773 —— 二分 + 容斥原理 + 唯一分解定理
题目链接:http://poj.org/problem?id=2773
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Description
Now your job is easy: for the given integer m, find the K-th element which is relatively prime to m when these elements are sorted in ascending order.
Input
Output
Sample Input
2006 1
2006 2
2006 3
Sample Output
1
3
5
Source
题意:
求第k个与m互质的数。
题解:
方法一:
如果 gcd(a,b) = 1, 那么成a与b互质。 注:1和任何数都互质。
根据唯一分解定理: 对一个数进行因式分解, 最终必定能分解为多个素数相乘的式子, 且这个式子是唯一的(1除外)。
1.那么我们可以m进行素数分解, 并记录它由哪些素数构成。
如果一个数的分解式中不含有构成m的素数, 那么这个数就与m互素。
2.然后二分答案ans, 如果在ans范围之内, 有>=k个与m互素的数, 那么就缩小范围, 否则扩大范围。
3.那么怎么知道在ans范围内, 有多少个数有m互素呢? 用容斥原理。
方法二:
可知 gcd(a+b*k, b) = gcd(b, a%b), gcd(a, b) = gcd(b, a%b), 所以 gcd(a+b*k, b) = gcd(a, b), k为常数。
这表明了:对于与b互素的数,他们对b取模的余数会周期性出现。 那么我们就只需要计算出在b的范围内, 与b互素的数有哪些就可以了。
然后看第k个与b互素的数是在第几个周期的第几个就可以了。(注意:刚好在周期末时, 需要特判)。
方法一:
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <string>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <map>
#include <set>
#include <queue>
#include <sstream>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define ms(a, b) memset((a), (b), sizeof(a))
typedef long long LL;
const double eps = 1e-;
const int INF = 2e9;
const LL LNF = 9e18;
const int mod = 1e9+;
const int maxn = 1e5+; LL m, k;
LL fac[maxn], sum; void getFactor()
{
sum = ;
LL tmp = m;
for(LL i = ; i*i<=tmp; i++)
if(tmp%i==)
{
fac[sum++] = i;
while(tmp%i==) tmp /= i;
}
if(tmp>) fac[sum++] = tmp;
} LL test(LL tmp)
{
if(m==) return tmp;
if(tmp==) return ; LL ret = ;
for(LL s = ; s < (<<sum); s++)
{
LL p = , cnt = ;
for(LL j = ; j<sum; j++)
if(s&(<<j))
{
p *= fac[j];
cnt++;
}
ret += (cnt&)?(tmp/p):(-tmp/p);
}
return tmp - ret;
} int main()
{
while(scanf("%lld%lld",&m,&k)!=EOF)
{
getFactor();
LL l = k, r = LNF;
while(l<=r)
{
LL mid = (l+r)>>;
if(test(mid)>=k)
r = mid - ;
else
l = mid + ;
}
printf("%lld\n", l);
}
return ;
}
方法二:
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <string>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <map>
#include <set>
#include <queue>
#include <sstream>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define ms(a, b) memset((a), (b), sizeof(a))
typedef long long LL;
const double eps = 1e-;
const int INF = 2e9;
const LL LNF = 9e18;
const int mod = 1e9+;
const int maxn = 1e6+; int pri[maxn]; int gcd(int a, int b)
{
return b==?a:gcd(b, a%b);
} int main()
{
int m, k, sum;
while(cin>>m>>k)
{
sum = ;
for(int i = ; i<=m; i++)
if(gcd(i,m)==)
pri[sum++] = i; if(k%sum)
cout<< (k/sum)*m+pri[(k%sum-)] <<endl;
else
cout<< (k/sum-)*m+pri[sum-] <<endl;
}
return ;
}
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