小技巧(updating)

小技巧

1. 我们要算一个点集中所有点到另一个点集中所有点的一些量的时候，可以建立一个超级源点和超级汇点，从多->多变成单->单

2. 整体二分的时候，操作要可以撤销，才能保证复杂度，每一层到左边区间的过程中先撤销掉当前所有操作

3. 整体二分的时候，不能当没有询问就返回，要把操作做完询问处理完才能返回

4. 数形结合，题目中的式子像一个几何上的公式的时候，可以数形结合

5. 对于某些涉及区间操作的问题的时候，可以考虑差分然后变成单点的问题

6. 分块暴力，当所有修改对询问的影响都可以 \(O(1)\) 计算的时候，可以分块暴力艹过 \(1e5\) 的数据

7. 考一棵树里面选了几个点，并且要有一个联通块包含这几个点的时候，我们可以考虑把点按照dfs序排序，然后联通块的最少边数就是 \(\frac {\sum dis(a_i,a_{i+1})} 2，(a_{n+1}=a_1)\)。

8. 一种常见的dp状态是 \(dp[a][b][c][d]...\) 表示每种物品有几个，假如物品没有区别的时候，我们可以只考虑 \(a \le b \le c \dots\) 的状态，转移的时候也将数量排序再转移，可以大量减少状态数

9. reverse特别慢，尽量不reverse

10. char[] 求strlen特别慢，可以记录在变量里，不能反复求，尤其避免

    for(int i=0;i<strlen(s);i++)
    

    慢成狗。。。

11. 线性基的小技巧：

    我们要维护 \([l,r]\) 的线性基的时候，可以记录下来线性基的 \(i\) 位对应的序号，然后按照序号顺序更新线性基，像下面这样写：

    int lb[40],at[40];	//线性基及编号
    for(int i=1;i<=n;i++){
       //枚举右端
       int x=nw[i],p=i;
       for(int j=30;j>=0 && x;j--){
          if(x&(1<<j)){
             if(lb[j]==0){lb[j]=x;at[j]=i;break;}
             else if(at[j]<p){swap(at[j],p);swap(lb[j],x);}	//把原来的向下更新
             //因为如果两个同时拥有这一位，那么后来的肯定更优
             x^=(1<<j);
          }
       }
       for(int x=head[i];x;x=nxt[x]){
          //枚举右端点为i的查询，可以用邻接表存储
          for(int j=30;j>=0;j--){
             if(at[j]>=q[x].l) q[x].ans=min(q[x].ans,q[x]^lb[j]);
          }
       }
    }
    

12. Meet in the middle 极好的想法，当数据范围恰好卡着你两倍左右让你过不去的时候，极有可能是Meet in the middle

13. 预处理！！！预处理！！！预处理！！！

    好像数数题大部分都要预处理。。。

14. 某一种dp要求你把所有的东西都消除，配对。。。之类的，可以考虑其中的某一个元素，这个元素一定会被消除，配对。。。然后可能能优化一下复杂度

15. size把 \(O(n^3)\) 的 \(\text{dp}\) 优化成 \(O(n^2)\)

16. 一个数与一群数一个个取 \(\gcd\) 只会有 \(\log\) 种不同的答案，因为每次要么不变，要么变成一半或者更少，然后可以优化一些题

17. 搜索的时候为了不重复可以只搜索单调不降的序列

18. 当题目要求必须选某一个元素或者必须不选某一个元素的时候，可以用前缀加后缀合并得到答案

19. 对时间分治的时候注意撤销操作要从后向前做！！！

20. 合并果子的模型非常常见，当贪心想不出来的时候可以试试看