初学数位DP

所谓数位dp，字面意思就是在数位上进行dp，数位的含义：一个数有个位、十位、百位、千位、等等，数的每一位就是数位。

数位DP一般应用于：

求出给定区间[A,B]内，符合条件P[i]的数 i 的个数。

条件P[i]一般与数的大小无关，而与 数的组成 有关

其实质就是换一种暴力枚举的方式，使得新的枚举方式满足dp的性质，然后记忆化就可以了。

 

参考来自以下链接

https://blog.csdn.net/zhangxian___/article/details/75304335

https://blog.csdn.net/qq_41958841/article/details/81637498

https://blog.csdn.net/wust_zzwh/article/details/52100392

 

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以HDU 2089为前提讨论，题目大意为，多组数据，每次给定区间[n,m]，求在n到m中没有"62"或"4"的数的个数。

试想：我们如果能有一个函数count(int x)，可以返回[0,x]之间符合题意的数的个数。那么是不是直接输出count(m) - count(n-1)就是答案？

 

DP老规矩，先开一个二维数组f[][]。（dp的本质就是空间换时间）

f[i][j]，表示 i 位数，最高位是 j 的数，符合题意的数有多少个。比如说f[1][2]=1;f[1][4]=0; f[2][6]=8;（60，61，63，64，65，66，67，68，69）。

 

我们先不关注这个 f 有什么用，我们先关注这个 f 如何来求。首先f[1][i] = 0;（if i==4），f[1][i]=1;（if i!=4）（0<= i <=9）。

以上这步是很显然的，那么根据这个题的数据范围，只需要递推到f[7][i]就行了。那么稍微理解一下就可以想出递推式：

if (j == 4) f[i][j] = 0;

else if (i != 6)f[i][j] = Σf[i - 1][j] (j = 0, 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9);

else if (i == 6)f[i][j] = Σf[i - 1][j] (j = 0, 1, 3, 5, 6, 7, 8, 9);

 

 

这里需要说明一下的是关于首位为 0 的情况，认为00052是长度为5，首位为0的符合条件的数，052是长度为3首位为0符合条件的数，自己在手推的时候就把0去掉了，怎么都看不出递推的规律。

 

那么我们现在得到了f数组，在重申一下它的定义：f[i][j]表示 i 位数，最高位是 j 的数，符合题意的数有多少个。

 

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第二步就要关注怎么利用f数组做出上面我们说的那个函数count(int x)，他们可以求出[0,x]中符合题意的数有多少个。

 

那么我们做一个函数int solve(int x) ，它可以返回[0,x)中符合题意的有多少个。那么solve(x+1)实际上与count(x)是等价的。

那么现在问题转化成了：小于x的，符合题意的数有多少个？

既然小于，从最高为开始比，必定有一位要严格小于x（前面的都相等）。所以我们就枚举哪一位严格小于（前面的都相等）。假设我们把x分为a1,a2,a3,.....,aL这样一个数组，长度为L，最高位为aL。

那么结果实际上就是这样：长度为L，最高位取[0,aL - 1]的所有符合题意的数的和，然后再加上长度L-1，最高位为[0,aL-1 - 1]的数，一直累加到最后长度为1或者碰到了4或该位是2上一位是6的情况也可以停止