浅谈stiring数

在组合数学，Stirling数可指两类数，第一类Stirling数和第二类Stirling数。

stirling常应用于许多组合枚举问题中。

第一类stirling数：

对第一类Stirling数

  ，也可记为 

s(n,m)的一个的组合学解释是：而个人分成m组做环排列的方法数目。

递推式：

$$\begin{align*}s(n+1,2)&=s(n,1)+s(n,2)\cdot n\\&=(n-1)!+n(n-1)!\sum _{i=1}^{n-1}\frac{1}{i}\\&=(n-1)!+n!\sum _{i=1}^{n-1}\frac{1}{i}\\&=\frac{n!}{n}+n!\sum _{i=1}^{n-1}\frac{1}{i}\\&=n!\sum _{i=1}^{n}\frac{1}{i}\\ \end{align*}$$

s(p,k)的递推公式： $s(p,k)=(p-1) \times s(p-1,k)+s(p-1,k-1) ,1<=k<=p-1$

边界条件：s(p,0)=0 ,p>=1  s(p,p)=1  ,p>=0

性质：

①

 

②

 

③

 

④

 

⑤

 

⑥

 

⑦

 

第二类stirling数：

  ，同时可记为 

将p个物体划分成k个非空的不可辨别的（可以理解为盒子没有编号而物品有编号）集合的方法数。

 

第二类Stirling数要求盒子是无区别的，所以可以得到其方案数公式：

递推式：

$$\begin{Bmatrix} n \\ k \end{Bmatrix}=\begin{Bmatrix} n-1 \\ k-1 \end{Bmatrix}+\begin{Bmatrix} n-1 \\ k \end{Bmatrix}*k$$

S(p,k)的递推公式是：$S(p,k)=k \times S(p-1,k)+S(p-1,k-1) ,1<= k<=p-1$$

边界条件：S(p,p)=1 ,p>=0    S(p,0)=0 ,p>=1

通项递推式：

$S(n,m)=\frac{1}{m!} \sum _{k=0}^m (-1)^kC_m^k(m-k)^n$

性质：

• $s(0,0)=1$;
• $S(n,0)=0,n>0$
• $S(n,n)=1$
• $S(n,2)=S(n-1,1)+S(n-1,2)*2=1+S(n-1,2)*2=2^{n-1}-1$
• $S(n,n-1)=C_n^2$
• $S(n,n-2)=C_n^3+3C_n^4$

简单巧妙的证明：我们分成两种情况，把n个不同的元素分成n?2个集合有两种情况，分别是有一个集合有三个元素和有两个集合有两个元素。对于前者，我们选出三个元素为一个集合，

其他的各成一个集合，这种情况的方案数就是C(n,3)。对于后者，先选出四个元素来，考虑怎么分配。当其中一个元素选定另一个元素形成同一个集合时，这种情况就确定了，

所以是$3 \times C(n,4)$。加法原理计算和即得证。

• $S(n,3)=\frac{1}{2}(3^{n-1}+1)-2^{n-1}$

• $S(n,n-3)=C_n^4+10C_n^5+15C_n^6$