机器学习-Logistic function（Sigmoid function）

下面给出H函数 

由这个函数生成的曲线称为Sigmoid曲线

先不从数学上说为什么这个模型中二元分类上比线性模型好，单纯从图形上看就可以得到直观的结论 
首先Y值域在[0,1]，其次图形中中间陡峭而两边平缓，符合二元分类的样本点特性

确定了模型，下面要做的是fit最优的θ，仍然是采用最大似然法，即找出对训练数据可能性最大的那个θ

前面对于线性回归问题，符合高斯分布（连续回归问题往往符合高斯分布），最终我们由最大似然推导出最小二乘回归 
但是对于二元分类，符合伯努利分布（the Bernoulli distribution, 又称两点分布，0-1分布），因为二元分类的输出一定是0或1，典型的伯努利实验 
by the way，二项分布是n次独立的伯努利实验形成的概率分布，当n=1时，就是伯努利分布 
同样，如果离散输出是多个值，就是符合多项分布

看看由最大似然可以推导出什么 
首先给出伯努利分布 

是否好理解，给定x;θ，y=1的概率等于h的值，看看图中，当然是h的值越大越可能为1，越小越可能为0 
那么这个式子可以合并写成，比较tricky的写法，Y为0或1，总有一项为1 
那么θ的似然函数定义为，θ的可能性取决于模型对训练集拟合的好坏 

同样为了数学计算方便，定义log likelihood，

很显然，对于伯努利分布，这里无法推导出最小二乘
下面要做的是找到θ使得ℓ(θ)最大，由于这里是找最大值而非最小值，所以使用梯度上升（gradient ascent），道理是一样的 
首先计算梯度，计算过程参考原文 

所以最终随机梯度上升rule写成， 
这个梯度公式，奇迹般的和线性回归中的梯度公式表面上看是一样的，可以仔细比较一样的 
之所以说表面上，是因为其中的是不同的，这里是logitics函数。

Perceptron Learning Algorithm（感知机算法）

这里谈感知机，好像有些离题，但是你看下感知机的函数 

单纯从直观图形的角度，似乎是逻辑函数的简化形式 
逻辑函数是连续的在[0,1]区间上，而感知机直接非0则1，参考下图红线

同样使用梯度下降的感知机算法也是和上面相同的形式 

同样不同的仅仅是h(x) 
1960s，感知机被看作是大脑工作中独立神经元的粗糙的模型，由于简单，会用作后面介绍的学习算法的起点 
虽然直观看上去感知机和之前看到的logistic回归或最小二乘回归很像，但是其实是非常不一样的算法 
因为，对于感知机，很难赋予一种有意义的概率解释（probabilistic interpretations），或使用最大似然估计算法来推导感知机算法 
而对于最小二乘或logistic都可以给出像高斯分布或伯努利分布的概率解释，并可以使用最大似然进行推导。