【数学】【P5076】 Tweetuzki 爱整除

Description

对于一个数 \(k\)，找到任意一个 \(x\)，满足 \(0~\leq~k~\leq~x~\leq~10^{18}\) 且对于任意一个 \(x\) 进制数，把该数字各数位上的数字相加，最后得出的值若可以被 \(k\) 整除，则该数可以被 \(k\) 整除。

Input

输入仅包含一行一个整数 \(k\)

Output

输出一行一个整数代表任意一个符合要求的答案

Hint

\(2~\leq~k~\leq~10^9\)

Solution

考虑题目中给出的例子，各个位上的数加起来被三整除的数能够被三整除，我们来分析一下原因：

不妨设这个数 \(x\) 是两位数，否则将两位看成一位做数学归纳：

设 \(x~=~10~a~+~b\)，则

\[x~=~10~a~+~b~=~a~+~b~+~9~a
\]

又

\[x~\equiv~0~(\bmod~3)~,~9a~\equiv~0~(\bmod~3)
\]

于是

\[a~+~b~\equiv~0~(\bmod~3)
\]

类似的可以发现，当一个进制数相邻两位的差值可以被 \(k\) 整除时，该数可以被 \(k\) 整除。

设这是个 \(x\) 进制数，则更高一位减更低一位的差值为 \(x~-~1\)

于是 \(x~-~1~\equiv~0~(\bmod~k)\)

任意输出一个 \(x\) 即可。最简单的当然是输出 \(k~+~1\)。

Code

a = int(input())
print(a + 1)