【bzoj5130】[Lydsy12月赛]字符串的周期 DFS+KMP

题目描述

给定 $n$ 和 $m$ ，求所有 长度为 $n$ ，字符集大小为 $m$ 的字符串，每个前缀的最短循环节长度乘积 的总和。

$n\le 12,m\le 10^9$

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题解

DFS+KMP

对于字符串中的每一种字符，将其看作：该字符第一次出现位置之前的字符种类数+1，把得到的序列称为“该字符串的最小表示”。

那么显然本题中最小表示相同的字符串的答案是一样的。$n$ 很小，因此可以暴搜最小表示序列，然后计算贡献，乘以最小表示为这个序列的字符串个数统计到答案中。

统计贡献时使用到KMP的一个小结论：长度为 $n$ 的字符串最短循环节长度为 $n-next[n]$ 。因此求出 $next[]$ ，对每个前缀算一下乘起来。

最小表示为该序列的字符串个数是一个排列数，为 $A_{m}^{字符种类数}$ ，预处理排列计算即可。

经过一个小dp程序可以计算出 $n=12$ 时最小表示个数为4213597，因此时间复杂度为 $O(4213597·12)$

#include <cstdio>
#define mod 998244353
typedef long long ll;
int s[13] , next[13] , n , m;
ll a[13] , ans;
void dfs(int p , int v)
{
    int i;
    if(p == n)
    {
        int j;
        ll ret = 1;
        for(j = -1 , i = 1 ; i <= n ; i ++ )
        {
            while(~j && s[j] != s[i - 1]) j = next[j];
            next[i] = ++j , ret = (ret * (i - j)) % mod;
        }
        ans = (ans + ret * a[v]) % mod;
        return;
    }
    for(i = 1 ; i <= v ; i ++ ) s[p] = i , dfs(p + 1 , v);
    if(v + 1 <= m) s[p] = v + 1 , dfs(p + 1 , v + 1);
}
int main()
{
    int i;
    scanf("%d%d" , &n , &m);
    a[0] = 1;
    for(i = 1 ; i <= n && i <= m ; i ++ ) a[i] = a[i - 1] * (m - i + 1) % mod;
    next[0] = -1 , dfs(0 , 0);
    printf("%lld\n" , ans);
    return 0;
}