第13届景驰-埃森哲杯广东工业大学ACM程序设计大赛-等式(求$N^2$的因子个数)

一、题目链接

　　https://www.nowcoder.com/acm/contest/90/F

二、题面

时间限制：C/C++ 1秒，其他语言2秒
空间限制：C/C++ 32768K，其他语言65536K
64bit IO Format: %lld
题目描述
给定n，求1/x + /y = /n （x<=y）的解数。（x、y、n均为正整数）

输入描述:
在第一行输入一个正整数T。
接下来有T行，每行输入一个正整数n，请求出符合该方程要求的解数。
（<=n<=1e9）
输出描述:
输出符合该方程要求的解数。
示例1
输入

输出

三、思路

　　由$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{n}$，可推得：$x * n + y * n = x * y$，进一步可推得：$x*y-x*n-y*n+n^2 = n ^ 2$，即：$(x-n)(y-n)=n^2$。

　　题目要计算满足$x \le y$的解的个数。那么，从式子$(x-n)(y-n)=n^2$可以看出，$(x-n)(y-n)$相乘为$n^2$，即只要满足$n^2\  \% (x-n) = 0, n^2\  \% (y-n) = 0$就行。也就是，只要$(x-n)$和$(y-n)$为$n^2$的因子且$x \le y$就行了。

　　现在要计算$n^2$的因子个数，假设$f(n)$表示$n$的因子个数(下同)。比赛过程中，我尝试过打表，寻找$f(n)$和$f(n^2)$之间的关系，然而没找到。T_T。后来发现了这个公式：http://www.cnblogs.com/565261641-fzh/p/8641852.html。那么，$f(n^2) = f(p_1^{e_1^2} * p_2^{e_2^2} * p_3^{e_3^2} * \cdots * p_k^{e_k^2}) = (1+e_1^2) * (1+e_2^2) * (1+e_3^2) * \cdots * (1 + e_k^2)$。

　　另外需要注意的一点是，在分解$n$的质因子时，如果最后$n>1$，结果还需要乘以$(1 + 1 * 2)$即乘以$3$。解释一下，第一个$1$是上面的上述公式里面的；第二个$1$是$n = n^1$指数上的$1$，$2$也是上述公式里面的。

　　所求答案即为$\frac{f(n^2) + 1}{2}$。加$1$的原因是因为$n$在计算$f(n^2)$的过程中只算了一次。

四、源代码

　　

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
;

template <class T> inline void read(T &x) {
    int t;
    bool flag = false;
    ')) ;
    ';
     + t - ';
    if(flag) x = -x;
}

vector<int> ps;
];
void init() {
    fill(, );
    ps.clear();
    ] = ] = false;
    ; i < ; ++i) {
        if(is[i]) {
            ; j += i)is[j] = false;
        }
    }
    ; i < ; ++i) {
        if(is[i])ps.push_back(i);
    }
}

LL calc(LL n) {
    LL res = ;
    ;
    ; i * i <= n && idx < ps.size(); ++i) {
        ) {
            ;
            ) {
                cnt++;
                n /= ps[idx];
            }
            res *= ( + cnt * );
        }
        idx++;
    }
    )res *= ;
    return res;
}

int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
    //freopen("input.txt", "r", stdin);
#endif // ONLINE_JUDGE
    init();
    LL n;
    int T;
    for(scanf("%d", &T); T--;) {
        scanf("%lld", &n);
        printf() / );
    }
    ;
}