从维度理解dp问题

对于dp,我目前的理解就是，干成题目中的那件事需要作出若干次决策，然后你要取其中最优的结果，我们可以用深搜来递归地找最优解，然后我们来观察一下这个递归树的形状，如果它能从底往上直接递推的话，就不用递归了，直接递推迭代到结果。。

当你不知道哪个决策最优时，我的解决方法是，那我们就遍历所有决策，从中选择最优的，当你用深搜遍历所有决策时，题目中的条件或者你自己推的结论可以帮助你进行dfs剪枝

 还有一种方法是，假设你能找到贪心的决策，每次就能贪心地选择某决策

 并且，能DP的前提条件是顺序正确，你递推或者是搜索的顺序是正确的（可能会用到紫书上的定序技巧）

或者我们去分析他状态转移图的拓扑序

（而且，DP如果后面的决策影响到前面，我们总是想办法把后面的决策挪到前面

【维度可以是任何东西】

这里先要澄清一个误区。时间和空间本身不是维度，而是“可以用维度概念描述的东西”。空间拥有三个维度，并不是说一维、二维和三维是空间；就像百米赛跑有前三名，但你不能说第一名、第二名和第三名就是百米跑。

维度（dimension）这个概念其实非常基础：允许某种东西自由变化的范围。

• int dp[n₀][n₁][n₂];

比如上面这个多维数组每个维度n₀、n₁和n₂都可以自由在0到n_i-1变化，这正是维度的概念！只不过这些维度是些表面没有太多意义的连续非负整数。

实际上数组下标本身存储了一定的信息，假如他每个维度本身的信息就是一个离散的下标，那么数组下标本身就是我们dp的语义信息

然而除了这种情况，我们可以仅把一个数组下标就当成一个下标，他真正的意义（的值）储存在A[index]中，或者其他更复杂的数据结构

例如树上的一条链，一个凸包，或者是一个边集，点集，向量集，矩阵，线段树的某一子树，某值的集合等等等等，每个维度的下标变换可以

链接到外面的资源

在后面声明的一点是。。当我们分析出了这个dp问题的状态图之后，我们要保证dp的顺序正确，即在这个DAG中要按照拓扑序去考虑递推的顺序，

什么是拓扑序呢，我们可以参考拓扑排序的定义以及拓扑序的定义。

二、状态

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事物具有多个维度，反之多个维度就能共同描述一个事物，而多个维度的值就描述了事物的状态。

比如说，导航程序，经度和纬度这两个维度的值就能描述当前某用户的状态，即这个用户正在某经度某维度的地方。

对应于数组，经度、纬度两个维度对应了二维数组：

• int dp[MaxLng][MaxLat];

 

如果多维数组各个维度的值确定后，那么就相当于确定了在多维数组中具体哪一个单元格。因此可以这么说，各个单元格就对应了各个状态，数组就是状态的集合，而状态就是通过确定数组各个维度的值定位的！

• dp[x][y]所对应的单元格就表示人在经度x纬度y的状态

 

不过，单元格可不仅仅是单元格，因为数组可以是bool类型、int类型等等，即这个单元格有值的。这个值就是状态的值，而状态该是什么类型的值，取值是多少这取决于具体的问题。

注意，上面说到值有两个，红色字，一个是维度的值，一个是状态的值，其中维度的值描述了具体的状态。

比如说，上面的导航程序的数组是int类型，这样dp[x][y]就可以拿来表示人在到达经度x纬度y这个状态所需的时间（分钟数）。

再比如说，如果数组是bool类型，这样dp[x][y]就可以拿来表示人能否到达经度x纬度y这个状态。

在动态规划问题里，状态的值经常是最小值、最大值和方案数等。一般就是从已知的初始状态的值，通过状态的转移，得出最终目标状态的值。

不过，上面提到的这个“状态”还不是动态规划里的“状态”，因为还少了一样东西——请看下一节，【无后效性】。

三、无后效性

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动态规划的状态必须是无后效性的。下面我用一道题目具体说明什么是无后效性。

HDU2041 超级楼梯

有一楼梯共M级，刚开始时你在第一级，若每次只能跨上一级或二级，要走上第M级，共有多少种走法？

这个问题里面很容易找到一个维度：楼梯的级数。那么到达第i级台阶就是一个状态，简称状态i，问题所需要求的是到达状态i的方案数，即：

• dp[i]表示到达第i级台阶的方案数

i的取值是从1到M，也就是说有M个状态。这M个状态之间是有关系的。比如可以从第1级的台阶直接移动到第2级或者第3级，或者第5级台阶可以从第3级或者第4级台阶直接移动到。

下面就M取5画一张状态图：

这张图上面的顶点表示的是各个状态，有向边（弧）就表示状态的转移。事实上这张图是一张有向无环图（DAG, Directed Acyclic Graph），即从任何一点出发不可能回到自身。

也就是说在那张图中状态i是通过状态i-1和状态i-2确定的，并且和状态i-3、i-4、i-5...没有一点关系，之后状态i也不会影响到状态i-3、i-4、i-5…，i-3、i-4、i-5状态的值已经是确定好的。

这就是无后效性。动态规划的状态必须是无后效性的状态。

动态规划本质上可以理解成在一个DAG上的递推：入度0的状态点就是初始的状态，有向边说明了状态转移的方向，通过状态的转移按着DAG的拓扑序推出最终目标状态的值。而由于是DAG，状态不会重复经过，最多就经过所有的状态。

具体如何转移请看下一节，【状态转移】。

四、状态转移

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前面提到了，动态规划的过程就是从初始状态转移到最终的目标状态，而初始状态的值是知道的，目标状态的值就是问题需要的。

还是那一题【超级楼梯】，状态（的值）是这么表示的：

• dp[i]表示到达第i级台阶的方案数

而转移的表示，通常当然不是画图，而是写出状态转移方程：

• dp[i] = 1 （i=1）
• dp[i] = dp[i-1] （i=2）
• dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2] （i>2）

为什么是这样呢？可以从之前画的状态图中理解。

1. 首先dp[1]就表示到达台阶1的方案数，一开始就在台阶1，这个状态的值当然就是1了，即dp[1]=1，而事实上这个也正是初始状态；
2. 然后dp[i]=dp[i-1]（i=2），也就是说dp[2]=dp[1]，因为走到台阶2只有一种策略就会从台阶1走来，因而到达台阶2的方案数就等于达到台阶1的方案数，也就是1；
3. 最后dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2]（i>2），这个从语义上理解是这样的：走到i-1的方案数是dp[i-1]，然后向上走一步就到了i，因而状态i的方案数就有dp[i-1]；而走到i-2的方案数是dp[i-2]，然后向上走2步就到了i，因而状态i的方案数又可以有dp[i-2]种；总共就是dp[i-1]+dp[i-2]个方案数。

那么有了状态转移方程，就可以动手写程序实现了。具体程序的实现多种多样，但要注意的是状态的值一定要按拓扑序依次求出。下面我讲讲讲三种方式：“人人为我”、“我为人人”和记忆化搜索。其中“人人为我”和“我为人人”这两个是我从北大ACM-ICPC暑期课的课件中学到的。

• “人人为我”

　　这个很常见，就是上面转移方程表示的那样。

　　状态图大概可以这么看：

　

　　比如可以看到状态5就是从3和4转移过来的。

　　写成程序就是这样：

1. #include<cstdio>
2. usingnamespace std;
3. int dp[41];
4. int main(){
5. dp[1]=1; dp[2]=1;
6. for(int i=3; i<=40;++i){
7. dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2];
8. }
9. int N,M;
10. scanf("%d",&N);
11. while(N--){
12. scanf("%d",&M);
13. printf("%d\n",dp[M]);
14. }
15. return0;
16. }

　　

• “我为人人”

　　这个是从当前状态顺着推过去，更新能到达状态的值。

　　这个实现起来挺直观的，因为是顺着往前推。

　　状态图可以这么看：

　　比如可以看到状态1更新到2和3。

　　写成程序是这样的：

1. #include<cstdio>
2. usingnamespace std;
3. int dp[44];
4. int main(){
5. dp[1]=1;
6. for(int i=1; i<40;++i){
7. dp[i+1]+=dp[i];
8. dp[i+2]+=dp[i];
9. }
10. int N,M;
11. scanf("%d",&N);
12. while(N--){
13. scanf("%d",&M);
14. printf("%d\n",dp[M]);
15. }
16. return0;
17. }

• 记忆化搜索

一般都是用DFS实现，就是用搜索当前状态能从哪儿转移过来。

另外开一个数组记录搜索过的状态的值，避免重复搜索，时间复杂度就不会是指数级的了，而是多项式级。

有时候用记忆化搜索很直观，而且记忆化搜索还可以避免搜索无意义、不需要的状态，从而使效率提升。

这个直接上代码吧：

1. #include<cstdio>
2. usingnamespace std;
3. int dp[44];
4. int dfs(int i){
5. if(dp[i]!=0)return dp[i];
6. return dp[i]=dfs(i-1)+dfs(i-2);
7. }
8. int main(){
9. dp[1]=1; dp[2]=1;
10. int N,M;
11. scanf("%d",&N);
12. while(N--){
13. scanf("%d",&M);
14. printf("%d\n",dfs(M));
15. }
16. return0;
17. }

二、状态

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事物具有多个维度，反之多个维度就能共同描述一个事物，而多个维度的值就描述了事物的状态。

比如说，导航程序，经度和纬度这两个维度的值就能描述当前某用户的状态，即这个用户正在某经度某维度的地方。

对应于数组，经度、纬度两个维度对应了二维数组：

• int dp[MaxLng][MaxLat];

 

如果多维数组各个维度的值确定后，那么就相当于确定了在多维数组中具体哪一个单元格。因此可以这么说，各个单元格就对应了各个状态，数组就是状态的集合，而状态就是通过确定数组各个维度的值定位的！

• dp[x][y]所对应的单元格就表示人在经度x纬度y的状态

 

不过，单元格可不仅仅是单元格，因为数组可以是bool类型、int类型等等，即这个单元格有值的。这个值就是状态的值，而状态该是什么类型的值，取值是多少这取决于具体的问题。

注意，上面说到值有两个，红色字，一个是维度的值，一个是状态的值，其中维度的值描述了具体的状态。

比如说，上面的导航程序的数组是int类型，这样dp[x][y]就可以拿来表示人在到达经度x纬度y这个状态所需的时间（分钟数）。

再比如说，如果数组是bool类型，这样dp[x][y]就可以拿来表示人能否到达经度x纬度y这个状态。

在动态规划问题里，状态的值经常是最小值、最大值和方案数等。一般就是从已知的初始状态的值，通过状态的转移，得出最终目标状态的值。

不过，上面提到的这个“状态”还不是动态规划里的“状态”，因为还少了一样东西——请看下一节，【无后效性】。