POJ 1845 Sumdiv 【逆元】

题意：求A^B的所有因子之和

很容易知道，先把分解得到，那么得到，那么

的所有因子和的表达式如下

第一种做法是分治求等比数列的和

 用递归二分求等比数列1+pi+pi^2+pi^3+...+pi^n：

（1）若n为奇数,一共有偶数项，则：
      1 + p + p^2 + p^3 +...+ p^n

= (1+p^(n/2+1)) + p * (1+p^(n/2+1)) +...+ p^(n/2) * (1+p^(n/2+1))
      = (1 + p + p^2 +...+ p^(n/2)) * (1 + p^(n/2+1))

（2）若n为偶数,一共有奇数项,则:
      1 + p + p^2 + p^3 +...+ p^n

= (1+p^(n/2+1)) + p * (1+p^(n/2+1)) +...+ p^(n/2-1) * (1+p^(n/2+1)) + p^(n/2)
      = (1 + p + p^2 +...+ p^(n/2-1)) * (1+p^(n/2+1)) + p^(n/2);

其他用到的知识是素数筛选以及快速幂，本博客都有相应知识或者百度也行

#include<stdio.h>
#include<string.h>
typedef long long ll;
const int mod=;
const int N=1e5+;
int p[N],pr[N],cnt;
void init(){
    for(int i=;i<N;i++){
        if(!p[i])    pr[++cnt]=i;
        for(int j=;j<=cnt&&i*pr[j]<N;j++){
            p[i*pr[j]]=;
            if(i%pr[j]==)    break;
        }
    }
}
ll pow_m(ll a,ll b,ll m){
    ll ans=;a%=m;
    while(b){
        if(b&)
            ans=(ans*a)%m;
        a=(a*a)%m;
        b>>=;
    }
    return ans;
}
ll sum(ll p,ll n){
    if(!n)    return ;
    if(n&){
        return (sum(p,n/)*(+pow_m(p,n/+,mod)))%mod;
    }
    else{
        return (sum(p,n/-)*(+pow_m(p,n/+,mod))+pow_m(p,n/,mod))%mod;
    }
}
int main(){
    ll a,b;
    init();
    while(~scanf("%lld%lld",&a,&b)){
        ll ans=;
        for(int i=;i<=cnt&&pr[i]*pr[i]<=a;i++){
            if(a%pr[i]==){
                int num=;
                while(a%pr[i]==){
                    num++;
                    a/=pr[i];
                }
                ans=(ans*sum(pr[i],num*b))%mod;
            }
        }
        if(a>){
            ans=(ans*sum(a,b))%mod;
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return ;
}

第二种方法就是用等比数列求和公式，但是要用逆元。用如下公式即可(已知a|b)

我们来证明它，已知，证明步骤如下

在快速幂时的乘法会爆longlong，所以用快速乘

#include<stdio.h>
#include<string.h>
typedef long long ll;
const int mod=;
const int N=1e5+;
int p[N],pr[N],cnt;
void init(){
    for(int i=;i<N;i++){
        if(!p[i])    pr[++cnt]=i;
        for(int j=;j<=cnt&&i*pr[j]<N;j++){
            p[i*pr[j]]=;
            if(i%pr[j]==)    break;
        }
    }
}
ll mul(ll a,ll b,ll m){
    ll ans=;a%=m;
    while(b){
        if(b&)
            ans=(ans+a)%m;
        a=(a+a)%m;
        b>>=;
    }
    return ans;
}
ll pow_m(ll a,ll b,ll m){
    ll ans=;a%=m;
    while(b){
        if(b&)
            ans=mul(ans,a,m);
        a=mul(a,a,m);
        b>>=;
    }
    return ans;
}
int main(){
    ll a,b;
    init();
    while(~scanf("%lld%lld",&a,&b)){
        ll ans=;
        for(int i=;i<=cnt&&pr[i]*pr[i]<=a;i++){
            if(a%pr[i]==){
                int num=;
                while(a%pr[i]==){
                    num++;
                    a/=pr[i];
                }
                ll M=(pr[i]-)*mod;
                ans*=(pow_m(pr[i],num*b+,M)+M-)/(pr[i]-);
                ans%=mod;
            }
        }
        if(a>){
            ll M=(a-)*mod;
            ans*=(pow_m(a,b+,M)+M-)/(a-);
            ans%=mod;
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return ;
}

http://blog.csdn.net/lyy289065406/article/details/6648539

http://blog.csdn.net/acdreamers/article/details/8220787