A+B Problem 详细解答 (转载)

此为详细装13版

转载自：https://vijos.org/discuss/56ff2e7617f3ca063af6a0a3

全文如下，未作修改，仅供围观，不代表个人观点：

你们怎么都在做网络流，不就是一道简单的递推吗   发表于2016-04-02 10:29

而且你们假惺惺的用网络流，过程中还是要用加法，我一个加法都没用。

#include <cstdio>
int m, n, a[32768][32768];
int main()
{
    scanf("%d%d", &m, &n);
    for (int i = 1; i <= m; ++i) {
        a[i][0] = i;
        for (int j = 1; j <= n; ++j) {
            a[0][j] = j;
            a[i][j] = ++a[i - 1][j];
            --a[i - 1][j];
        }
    }
    printf("%d\n", a[m][n]);
}

根据加法的性质，0 为加法单元，满足 m + 0 = m, 0 + n = n
然后就是裸推了：i + j = i + (j - 1) + 1

但是这样会超时，而且在 Vijos 上测数组太大了，编译就错误了。所以要进行优化，合并一个状态：
设 F(i) = i + n, 则 F(0) = n, F(i) = F(i - 1) + 1

#include <cstdio>
int m, n, a[32768];
int main()
{
    scanf("%d%d", &m, &n);
    a[0] = n;
    for (int i = 1; i <= m; ++i) {
        a[i] = ++a[i - 1];
        --a[i - 1];
    }
    printf("%d\n", a[m]);
}

此时已经可以通过了，然而，本着精益求精的态度，进一步可以用滚动数组优化，变成这样：

#include <cstdio>
int m, n, ans;
int main()
{
    scanf("%d%d", &m, &n);
    ans = n;
    while (m--) ++ans;
    printf("%d\n", ans);
}

这是递推做法的最优解了。然而，事实上，还可以用位运算做，才是真正的最优解。
首先，加法分为两个步骤，一个是数字加，一个是进位。
因为单位二进制中 1 + 1 = 0, 1 + 0 = 1, 0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1
正好符合异或的性质。
进位的部分则为 a & b。
但是第一位不可能进位，所以整体移动一位，即 (a & b) << 1.
那么 a + b = (a ^ b) + ((a & b) << 1);
出现了加号！可是这是可以递归的，故程序优化如下：

#include <cstdio>
int m, n;
int add(int a, int b)
{
    if (a == 0) return b;
    if (b == 0) return a;
    int s = a ^ b;
    int t = (a & b) << 1;
    return add(s, t);
}
int main()
{
    scanf("%d%d", &m, &n);
    printf("%d\n", add(m, n));
}

显然，该程序时间复杂度为 Ø(log max{a, b})
因为这是一个尾递归，所以我们可以通过迭代消除它。

#include <cstdio>
int m, n;
int main()
{
    scanf("%d%d", &m, &n);
    int u = m & n;
    int v = m ^ n;
    while (u) {
        int s = v;
        int t = u << 1;
        u = s & t;
        v = s ^ t;
    }
    printf("%d\n", v);
}

即为本题最优解。
在 Vijos 上看不出差距，在洛谷上，位运算解法 2ms 通过，递推的最优解不仅时间很长，还超时了一个点。

不得不说，本题很考察思维，一步一步优化，到达最优。