LeetCode 1819. 序列中不同最大公约数的数目（数论）

题目描述

给你一个由正整数组成的数组 nums 。

数字序列的 最大公约数 定义为序列中所有整数的共有约数中的最大整数。

例如，序列 [4,6,16] 的最大公约数是 2 。

数组的一个 子序列 本质是一个序列，可以通过删除数组中的某些元素（或者不删除）得到。

例如，[2,5,10] 是 [1,2,1,2,4,1,5,10] 的一个子序列。

计算并返回 nums 的所有 非空 子序列中 不同 最大公约数的 数目 。

来源：力扣（LeetCode）

链接：https://leetcode-cn.com/problems/number-of-different-subsequences-gcds

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题目分析

看到 GCD（最大公约数）的题目我就头大，因为我除了质因数分解就啥都不知道了。

这题看起来不算难，但是我思考了很久还是没能独立做出来，最后还是翻阅了力扣讨论区。

我开始想的是 DP 或者排序，又试了下暴力破解（毫无疑问超时）。后面看到数据范围也不是很大，在思考枚举每个数是否能够成功答案，但是没有能够继续思考下去。。。如何判断该数字是否能够成为某些数字的 GCD 呢？

（虽然题目要求是子序列，但其实顺序并不重要，下面我就直接说子集）

假设要计算数字 x 是否能成为某个子集的 GCD ，首先要找出在数组中，能够成为 x 的倍数的数字集合（显然，不能整除 x 的数字，约数不可能有 x）。然后求出这个集合的 GCD 假设为 gcd(x倍数集合)，如果 gcd(x倍数集合) 等于 x 证明这些数字的就是一个满足 GCD 为 x 的子集。

不会证明，但结论还是比较直观的 =。=

由于 \(\sum_{i=1}^n \frac{n}{i} = n*\sum_{i=1}^n \frac{1}{i} = O(n*logn)\)

求 gcd 均摊是 \(O(m*logm)\) 的, 故该算法的复杂度也为 \(O(m*logm) + O(m*logm)=O(m*logm)\)

https://leetcode-cn.com/problems/number-of-different-subsequences-gcds/solution/kao-lu-mei-yi-ge-shu-shi-fou-ke-yi-cheng-2sb2/

AC 代码

class Solution {
public:
    int countDifferentSubsequenceGCDs(vector<int>& nums) {
        int maxv = *max_element(nums.begin(), nums.end());
        bool exist[maxv + 1];
        memset(exist, false, sizeof exist);
        for (int x: nums) {
            exist[x] = true;
        }
        int count = 0;
        for (int i = 1; i <= maxv; i++) {
            // 枚举每一个数字是否可能成为最小公约数
            int gcdv = 0;
            for (int j = i; j <= maxv; j += i) {
                // 只有当i的倍数（存在在数组中的）的最小公约数为i才可以
                if (exist[j]) {
                    gcdv = gcdv ? gcd(gcdv, j) : j;
                }
            }
            if (gcdv == i) {
                count++;
            }
        }
        return count;
    }
};

总结

说实话没做出来的一部分原因是我有点畏惧 gcd （包括各种数论）的题目，但是解法就还蛮暴力的。另一个原因是我想到了这种方法但是自我否决了，主要是时间复杂度计算出错。确实这种复杂的时间复杂度计算我完全不会，还是需要加强这方面的能力。