[UOJ422][集训队作业2018]小Z的礼物——轮廓线DP+min-max容斥

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[集训队作业2018]小Z的礼物

题目要求的就是最后一个喜欢的物品的期望得到时间。

根据$min-max$容斥可以知道$E(max(S))=\sum\limits_{T\subseteq S}^{ }(-1)^{|T|-1}E(min(T))$

那么只需要知道每个子集中最早得到的物品的期望时间即可得出答案。

对于每个子集，最早得到的物品的期望时间就是一次选择能得到这个子集中元素的概率的倒数。

用一次选择能得到这个子集中的元素的方案数除上总方案数(每次共有$2*n*m-n-m$种选择方案)就能得到对应的概率。

最暴力的方法就是枚举$2^{cnt}$个子集然后对每个求概率。

但可以发现方案数最多只有$2*n*m-n-m$个，我们可以轮廓线$DP$求出每个集合的方案数。

设$f[s][k]$表示轮廓线为$s$，方案数为$k$的集合个数。

因为容斥系数只有$-1$和$1$两种，所以在$DP$时直接将容斥系数算进去即可。

最后对于每个子集求出期望然后加和即可。

#include<set>
#include<map>
#include<queue>
#include<stack>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<bitset>
#include<vector>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define ll long long
#define mod 998244353
using namespace std;
int inv[1200];
int f[2][70][1200];
int n,m;
char mp[7][110];
int S,sum;
int ans;
int now,pre;
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	S=(1<<n)-1;
	sum=2*n*m-n-m;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%s",mp[i]+1);
	}
	inv[0]=inv[1]=1;
	for(int i=2;i<1200;i++)
	{
		inv[i]=1ll*(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
	}
	f[0][0][0]=mod-1;
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		for(int j=1;j<=n;j++)
		{
			pre=now,now^=1;
			memset(f[now],0,sizeof(f[now]));
			for(int s=0;s<=S;s++)
			{
				for(int k=0;k<=sum;k++)
				{
					if(f[pre][s][k])
					{
						int t=s&(S^(1<<(j-1)));
						f[now][t][k]+=f[pre][s][k],f[now][t][k]%=mod;
						if(mp[j][i]=='*')
						{
							t|=1<<(j-1);
							int num=0;
							if(j>1&&!(s&(1<<(j-2))))num++;
							if(i>1&&!(s&(1<<(j-1))))num++;
							if(i<m)num++;
							if(j<n)num++;
							f[now][t][k+num]+=mod-f[pre][s][k],f[now][t][k+num]%=mod;
						}
					}
				}
			}
		}
	}
	for(int s=0;s<=S;s++)
	{
		for(int i=1;i<=sum;i++)
		{
			ans+=1ll*f[now][s][i]*inv[i]%mod,ans%=mod;
		}
	}
	ans=1ll*ans*sum%mod;
	printf("%d",ans);
}