openGL 变换06

变换

使用(多个)矩阵(Matrix) 对象可以更好的变换(Transform)一个物体。

向量

向量最基本的定义就是一个方向。

或者说 向量有一个方向(Direction)和大小(Magnitude,也叫做强度或长度)。

向量可以在任意纬度(Dimension)上 ，但是我们通常只使用2至4维。

如果一个向量有两个纬度，它表示一个平面的方向(想象一下2D的图像)，当它有3个纬度的时候它可以表达一个3D世界的方向。

下面图片会看到3个向量，每个向量在2D图像中都用一个箭头(x,y)表示。我们在2D图片中展示这些向量，因为这样子会更直观一点。

你可以把这些2D向量当做z坐标为0的3D向量。

由于向量表示的是方向，起始于何处并不会改变它的值。

下图我们可以

由于向量是一个方向，所以有些时候会很难形象地将它们用位置(Position)表示出来。

为了让其更为直观，我们通常设定这个方向的原点为(0,0,0),然后指向一个方向，对应一个点，使其变为位置向量(Position Vector)

也可以把起点设置为其他的点，然后说：这个向量从这个点起始指向另一点)。比如说位置向量(3,5)在图像中的起点会是(0,0)，并会指向(3,5)。

我们可以使用向量在2D或3D空间中表示方向与位置。

向量与标量运算

标量(Scalar)只是一个数字(或者说是仅有一个分量的向量)。

当把一个向量加/减/乘/除一个标量，我们可以简单的把向量的每个分量分别进行该运算。

对于加法来说会像这样：

其中的+可以是+、-、.或÷，其中 . 是乘号。注意- 和 ÷ 运算时不能颠倒(标量 -/÷ 向量)，因为颠倒的运算是没有定义的。

向量取反

对一个向量取反(Negate)会将其方向逆转。一个指向东北的向量取反后就指向西南方向了。

我们在一个向量的每个分量前加负号就可以实现取反了(或者说用-1数乘该向量)：

向量与向量加减

向量的加法可以被定义为是分量的(Component-wise)相加，即将一个向量中的每一个分量加上另一个向量的对应分量：

向量v = (4,2)和k =(1,2)可以直观地表示为：

就像普通数字加减一样，向量的减法等于加上第二个向量的相反向量：

两个向量的相减会得到这两个向量指向位置的差。这在我们想要获取两点的差会非常有用。

长度

我们使用勾股定理(Pythagoras Theorem) 来获取向量的长度(Length)/大小(Magnitude)。

如果把向量的x与y分量画出来、该向量会和x与y分量为边形成一个三角形：

因为两条边(x和y)是已知的，如果希望知道，我们可以直接通过勾股定理来计算：

有一个特殊类型的向量叫做单位向量(Unit Vector)。

单位向量一个特别的性质-------它的长度是1。

我们可以用任意向量的每个分量除以向量的长度得到它的单位向量。

我们把这种方法叫做一个向量的标准化(Normalizing)。单位向量头上有一个^样子的记号。

通常单位向量会变得很有用，特别是我们只关心方向不关心长度的时候(如果改变向量的长度，它的方向并不会改变)。

 向量相乘

两个向量相乘是一种很奇怪的情况。

普通的乘法在向量上是没有定义的，因为它在视觉上是没有意义的。

但是在相乘的时候我们有两种特定情况可以选择:

点乘

两个向量的点乘等于它们的数乘结果乘以两个向量之间的余弦值。下面是公式：

现在点积只定义了两个向量的夹角。

90度的余弦值是0，0度的余弦值是1。

使用点乘可以很容易测试两个向量是否正交(Orthogonal)或平行(正交意味着两个向量互为直角)。

如果想要多了解正弦或余弦函数的知识可以看教程：可汗学院的基础三角学视频。

也可以通过点乘的结果计算两个非单位向量的夹角，点乘的结果除以两个向量的长度之积，得到的结果就是夹角的余弦值

通过上面点乘定义式可推出：

所以，我们该如何计算点乘呐？点乘是通过将对应分量逐个相乘，然后再把所得积相加来计算的。

两个单位向量的点乘会像是这样：

点乘会在计算光照的时候非常有用。

叉乘

叉乘只在3D空间中有定义，它需要两个不平行向量作为输入，生成一个正交于两个输入向量的第三个向量。

如果输入的两个向量也是正交的，那么叉乘之后将会产生3个互相正交的向量。

下面图片展示了3D空间中叉乘的样子：

下面你会看到两个正交向量A和B叉积：

只要按照步骤来，就能得到一个正交于两个输入向量的第三个向量。

矩阵

简单来说矩阵就是一个矩形的数字、符号或表达式数组。

矩阵中每一项叫做矩阵的元素(Element)。

下面是一个2x3矩阵的例子：

矩阵可以通过(i,j)进行索引，i是行，j是列，这就是上面的矩阵叫做2x3矩阵的原因(3列2行，也叫做矩阵的纬度(Dimension))。

这与你在索引2D图像时的(x,y)相反，获取4的索引是(2,1)(第二行，第一列)(注：如果是图像索引应该是(1,2)，先算列、再算行)。

它就是一个矩形的数学表达式阵列。和向量一样，矩阵也有非常漂亮的数学属性。

矩阵有几个运算，分别是：矩阵的加法、减法和乘法。

矩阵的加减

矩阵与标量之间的加减定义如下：

标量值要加到矩阵的每一个元素上。矩阵与标量的减法也相似：

矩阵与矩阵之间的加减就是两个矩阵对应元素的加减运算，所以总体的规则和与标量运算是差不多的，

只不过在相同索引下的元素才能进行运算。这也就是说加减法只对同纬度的矩阵才是有定义的。

一个3x2矩阵和一个2x3矩阵(或一个3x3矩阵与4x4矩阵)是不能进行加减的。

两个2x2矩阵是怎么相加的：