《运筹学基础及应用》习题1.1(b),1.1(c),1.2(a)

用图解法求解下列线性规划问题,并指出问题具有惟一最优解,无穷多最优解,无界解还是无可行解.

习题1.1(b):$\max z=3x_1+2x_2$
$$
s.t
\begin{cases}
  2x_1+x_2\leq 2\\
3x_1+4x_2\geq 12\\
x_1,x_2\geq 0\\
\end{cases}
$$

解答:把 $x_1$ 作为横坐标,$x_2$ 作为纵坐标.则根据题目中的限制条件做图如下:

由图易得问题无可行解.

习题1.1(c):$\max z=x_1+x_2$
$$s.t
\begin{cases}
  6x_1+10x_2\leq 120\\
5\leq x_1\leq 10\\
3\leq x_2\leq 8\\
\end{cases}
$$
解答:把 $x_1$ 作为横坐标,$x_2$ 作为纵坐标.则根据题目中的限制条件做图如下:

由图可见问题具有惟一最优解,且 $z$ 的最大值为16.

习题1.2(a):对下述线性规划问题找出所有基解,指出哪些是基可行解,并确定最优解.
$\max z=3x_1+x_2+2x_3$
$$
\begin{cases}
  12x_1+3x_2+6x_3+3x_4=9\\
8x_1+x_2-4x_3+2x_5=10\\
3x_1-x_6=0\\
x_j\geq 0(j=1,\cdots,6)\\
\end{cases}
$$
解答:先把限制条件化为标准的形式.易得可以化为
$$
\begin{cases}
  12x_1+3x_2+6x_3+3x_4+0\cdot x_5+0\cdot x_6=9\\
   8x_1+x_2-4x_3+0\cdot x_4+2x_5+0\cdot x_6=10\\
3x_1+0\cdot x_2+0\cdot x_3+0\cdot x_4+0\cdot x_5-x_6=0\\
x_j\geq 0(j=1,\cdots,6)\\
\end{cases}
$$
可得约束方程组的系数矩阵为
$$ A=\begin{bmatrix}
12&3&6&3&0&0\\
8&1&-4&0&2&0\\
3&0&0&0&0&-1\\
\end{bmatrix}
$$
该矩阵由6个列向量组成,记第 $i(1\leq i\leq 6)$ 个列向量为 $P_i$.矩阵 $A$ 的秩不大于3,所以只用找出3个列向量组成的矩阵满秩,这3个向量就是线性规划问题的一个基.令与基对应的变量为基变量,其余变量为非基变量,令非基变量等于0,求解方程组就可以找出基解(找基解的一个有效方法是计算行列式).该线性规划问题的基列如下:

1. $\{P_1,P_2,P_3\}$
2. $\{P_1,P_2,P_4\}$
3. $\{P_1,P_2,P_5\}$
4. $\{P_1,P_2,P_6\}$
5. $\{P_1,P_3,P_4\}$
6. $\{P_1,P_3,P_5\}$
7. $\{P_1,P_3,P_6\}$
8. $\{P_2,P_3,P_{4}\}$(这不是一组基).
9. $\{P_2,P_3,P_5\}$(这不是一组基).
10. $\{P_2,P_3,P_6\}$
11. $\{P_3,P_4,P_5\}$(这不是一组基).
12. $\{P_3,P_4,P_6\}$
13. $\{P_2,P_4,P_5\}$(这不是一组基).
14. $\{P_2,P_4,P_6\}$
15. $\{P_1,P_4,P_5\}$
16. $\{P_1,P_4,P_6\}$
17. $\{P_4,P_5,P_6\}$
18. $\{P_3,P_5,P_6\}$
19. $\{P_2,P_5,P_6\}$
20. $\{P_1,P_5,P_6\}$

可见,该线性规划问题的基共有16个.这些基对应的基解分别为

1. $x_1=0,x_2=\frac{16}{3},x_3=\frac{-7}{6}$,其余皆为0.
2. $x_1=0,x_2=10,x_4=-7$,其余皆为0.
3. $x_1=0,x_2=3,x_5=\frac{7}{2}$,其余皆为0.
4. $x_1=\frac{7}{4},x_2=-4,x_6=\frac{21}{4}$,其余皆为0.
5. $x_{1}=0,x_3=\frac{-5}{2},x_4=8$,其余皆为0.
6. $x_1=0,x_3=\frac{3}{2},x_5=8$,其余皆为0.
7. $x_1=1,x_3=\frac{-1}{2},x_6=3$,其余皆为0.
8. $x_2=\frac{16}{3},x_3=\frac{-7}{6},x_6=0$,其余皆为0.
9. $x_3=\frac{-5}{2},x_4=8,x_6=0$,其余皆为0.
10. $x_{2}=10,x_4=-7,x_6=0$,其余皆为0.
11. $x_1=0,x_4=-1,x_5=5$,其余皆为0.
12. $x_1=\frac{5}{4},x_4=-2,x_6=\frac{15}{4}$,其余皆为0.
13. $x_4=3,x_5=5,x_6=0$,其余皆为0.
14. $x_3=\frac{3}{2},x_5=8,x_6=0$,其余皆为0.
15. $x_2=3,x_5=\frac{7}{2},x_6=0$,其余皆为0.
16. $x_1=\frac{3}{4},x_5=2,x_6=\frac{9}{4}$,其余皆为0.

在这些解中,基可行解易得为

1. $x_1=0,x_2=3,x_5=\frac{7}{2}$,其余皆为0.
2. $x_1=0,x_3=\frac{3}{2},x_5=8$,其余皆为0.
3. $x_4=3,x_5=5,x_6=0$,其余皆为0.
4. $x_3=\frac{3}{2},x_5=8,x_6=0$,其余皆为0.
5. $x_2=3,x_5=\frac{7}{2},x_6=0$,其余皆为0.
6. $x_1=\frac{3}{4},x_5=2,x_6=\frac{9}{4}$,其余皆为0.

在这些基可行解中,容易验证最优解有4个,为

1. $x_1=0,x_2=3,x_5=\frac{7}{2}$,其余皆为0.
2. $x_1=0,x_3=\frac{3}{2},x_5=8$,其余皆为0.
3. $x_3=\frac{3}{2},x_5=8,x_6=0$,其余皆为0.
4. $x_2=3,x_5=\frac{7}{2},x_6=0$,其余皆为0.

可得 $z$ 的最大值为3.