题解-[HNOI2001]遥控赛车比赛

前置知识：记忆化搜索、\(\texttt{Bfs}\)。

参考资料

https://www.luogu.com.cn/blog/CYJian/solution-p2226

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题解-[HNOI2001]遥控赛车比赛
\(\texttt{Introduction}\)
\(\texttt{Description}\)
\(\texttt{Solution}\)
\(\texttt{Code}\)

\(\texttt{Introduction}\)

蒟蒻练习历年省选题时遇见此题，\(\texttt{WA}\) 了好多发才 \(\texttt{AC}\)，感到这题的巧妙足以记成题解。

\(\texttt{Description}\)

[HNOI2001]遥控赛车比赛

给你一个由 \(0\) 和 \(1\) 组成的 \(N\times M\) 地图，\(1\) 可走，\(0\) 是障碍。如果你反应力为 \(z\)，那么你每次至少直走 \(z\) 步后才能转弯。起点为 \((sx,sy)\)，终点为 \((tx,ty)\)。求反应力为 \(1\sim 10\) 时的最短路（如果到不了终点不输出，具体看题目链接）。

数据范围：\(1\le N,M\le 100\)。

\(\texttt{Solution}\)

这题是什么意思呢？如下图：

起点为 \((1,4)\)，终点为 \((10,7)\)。

如果反应力为 \(1\)，即走一步可以转个方向，那么最短路方案如图 \(2\)，长度为 \(16\)。

如果反应力为 \(2\)，即每直走两步可以换个方向，那么最短路方案如图 \(1\)，长度为 \(18\)。

貌似很简单，做法很直接：\(\texttt{Bfs}\)，记忆化搜索。

因为方向在这题中很重要，所以记录数组 \(dep_{i,j,k}\) 和 \(f_{i,j,k}\) 表示走到 \((i,j)\) 这个格子方向为 \(k\) 时在最短路条件下的路程和当前方向上直走了的距离（四个方向用 \(0,1,2,3\) 表示）。

然后每次 \(\texttt{Bfs}\) 拓展下一步路径的时候，特判一下，如果方向与 \(k\) 不同，那么必须满足 \(f_{i,j,k}\ge z\)。

看起来这题就只有普及的复杂度，但是如果你把代码敲出来一交，最多得个 \(50\) 分。

你会自闭很久直到找到反例——一个更令你自闭的东西：

路重复走，转 \(180^{\circ}\) 反而可能更优。

如下图：

图 \(1\) 中的地图如果用你的代码只能跑反应力为 \(1\)。但是这种路径反应力为 \(2\) 可以跑！

同理，图 \(2\) 中如果走这种路重复走，转 \(180^{\circ}\) 的路径，长度可以减至 \(10\)（虚线路径为原计划路径，长度远大于 \(10\)）。

那么题目貌似会变得很混乱：走过的地方也可以走，同一个位置更长的路径可能更优。

然而仔细思考后会发现，只有两种情况同一个位置的路径会更优：

更短。
当前方向上直走得更长。

其中第二种更优只能在继续直走中体现（如果转弯之前直走了多长没关系）。

然后敲个带个特判的记忆化广搜即可（普及知识不多说，特判会在代码中标识）。

\(\texttt{Code}\)

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

//&Start

#define lng long long

#define lit long double

#define kk(i,n) "\n "[i<n]

const int inf=0x3f3f3f3f;

const lng Inf=1e17;

//&Debug

int open(0);

#define Debug if(open)

//&Data

const int N=110;

int n,m,maze[N][N],fx[4]={0,0,-1,1},fy[4]={-1,1,0,0};

struct Marco{int x,y,k;}s,t; //Bfs 状态

//&Bfs

const int Q=5e6+10;

int dep[N][N][4],f[N][N][4],ql,qr;

Marco q[Q];

int ok(int x,int y){return x>=1&&x<=n&&y>=1&&y<=m&&maze[x][y];}

int bfs(int z){

	Debug printf("---%d---\n",z);//###

	if(!ok(s.x,s.y)||!ok(t.x,t.y)) return -1;

	memset(dep,0x3f,sizeof dep),memset(f,0,sizeof f);

	int *D=dep[s.x][s.y],*F=f[s.x][s.y]; Marco tp;

	D[0]=D[1]=D[2]=D[3]=F[0]=F[1]=F[2]=F[3]=0;//初始化起点

	ql=1,qr=0,q[++qr]=(s.k=0,s),q[++qr]=(s.k=1,s),q[++qr]=(s.k=2,s),q[++qr]=(s.k=3,s);//起点可以是任意方向

	while(qr>=ql){ //手模队列

		tp=q[ql++];

		Debug printf("%d %d %d\n",tp.x,tp.y,tp.k);//###

		D=dep[tp.x][tp.y],F=f[tp.x][tp.y];

		if(tp.x==t.x&&tp.y==t.y) return D[tp.k];//找到出口了！

		for(int k=0;k<4;k++){

			int xt=tp.x+fx[k],yt=tp.y+fy[k];

			if(ok(xt,yt)&&(D[tp.k]+1<dep[xt][yt][k]||F[tp.k]>=f[xt][yt][k])){//特判：两种更优

				if(k==tp.k){

					dep[xt][yt][k]=D[tp.k]+1;//普通Bfs拓展

					f[xt][yt][k]=F[tp.k]+1;

					q[++qr]=(Marco){xt,yt,k};

				} else if(F[tp.k]>=z&&D[tp.k]+1<dep[xt][yt][k]){//特判：要转弯即使直走得更长也没用

					dep[xt][yt][k]=D[tp.k]+1;

					f[xt][yt][k]=1;

					q[++qr]=(Marco){xt,yt,k};

				}

			}

		}

	}

	return -1;//被困住了，到不了出口

}

//&Main

int main(){

	scanf("%d%d",&n,&m);

	scanf("%d%d%d%d",&s.x,&s.y,&t.x,&t.y);

	for(int i=1;i<=n;i++)

		for(int j=1;j<=m;j++)

			scanf("%d",maze[i]+j);

	for(int i=1,tp;i<=10;i++)

		if((tp=bfs(i))!=-1) printf("%d %d\n",i,tp);

		else break;

	return 0;

}

我还是太蒻了。祝大家学习愉快！