[数学]高数部分-Part VII 微分方程

Part VII 微分方程

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• Part VII 微分方程
  • 微分方程的概念
  • 一阶微分方程求解-变量可分离型
  • 一阶微分方程求解-齐次型
  • 一阶微分方程求解-一阶线性型
  • 二阶常系数齐次D.E.求解：\(y''+py'+qy=0\) p,q为常数
  • 二阶常系数非齐D.E.求解：\(y''+py'+qy=f(x)\)

微分方程的概念

1. \(F(x,y,{y}',{y}'',...,{y}^{(n)})=0\)
2. 阶数一方程中y的最高阶导数的阶数
   
   \(如：ysinx-{y}''=cosx+2就是二阶微分方程，\begin{cases} n=1,一阶\\ n\geq2,高阶 \end{cases}\)
3. 通解 --- 解中所含独立常数的个数=方程的阶数

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一阶微分方程求解-变量可分离型

\(形如\frac{\text{dy}}{\text{dx}}=f(x,y)=g(x)h(y)\Rightarrow\frac{\text{dy}}{\text{h(y)}}=g(x)dx\Rightarrow\int\frac{\text{dy}}{\text{h(y)}}=\int g(x)dx\)

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一阶微分方程求解-齐次型

\(形如\frac{\text{dy}}{\text{dx}}=f(\frac{y}{x})\Rightarrow y=ux \Rightarrow {y}'={u}'x+u \Rightarrow {u}'x+u=f(u) \Rightarrow \frac{\text{du}}{\text{dx}}x=f(u)-u \Rightarrow \frac{du}{f(u)-u}=\frac{dx}{x}\Rightarrow \int\frac{du}{f(u)-u}=\int\frac{dx}{x}\)

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一阶微分方程求解-一阶线性型

\(形如:{y}'+p(x)y=q(x), p(x),q(x)为已知函数 \Rightarrow y=e^{-\int p(x)dx}(\int e^{\int p(x)dx}q(x)dx+C\)

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二阶常系数齐次D.E.求解：\(y''+py'+qy=0\) p,q为常数

1. \(写\lambda^2 + p\lambda+q=0 \Rightarrow \triangle=p^2-4q\)
2. \(\begin{cases}
   \triangle>0 \Rightarrow \lambda_1\neq\lambda_2 \Rightarrow y=C_1e^{\lambda_1x}+C_2e^{\lambda_2x} \\
   \triangle=0 \Rightarrow \lambda_1=\lambda_2=\lambda \Rightarrow y(C_1+C_2x)e^{kx} \\
   \triangle<0 \Rightarrow \lambda_{1,2}=\frac{-p\pm\sqrt{4q-p^2}i}{2}=\alpha\pm\beta i\Rightarrow y=e^{\alpha x}(C_1cos{\beta x})+C_2sin{\beta x})
   \end{cases}\)

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二阶常系数非齐D.E.求解：\(y''+py'+qy=f(x)\)

1. \(f(x) = P_n(x) e^{kx}\)型
   1. 解法
      1. 解的结构：\(y_{通解}=y_{齐次通解}+y_{非齐次特解}^*\)
      2. 求齐次通解：按照前面的方法求出
      3. 求特解：
         1. 设\(y^* = e^{kx} Q_n(x)\)（其中\(Q_n(x)\)由\(P_n(x)\)得到）
         2. 由k与特征方程的根的情况决定是否要在\(y^*\)后面乘上x或\(x^2\)
            1. \(\lambda _1 \neq k, \lambda_2 \neq k\)：设\(y^* = e^{kx} Q_n(x)\)
            2. \(\lambda _1 = k, \lambda_2 \neq k\)：设\(y^* = e^{kx} Q_n(x)\times x\)（多乘一个x）
            3. \(\lambda _1 = \lambda_2 = k\)：设\(y^* = e^{kx} Q_n(x) \times x^2\)（多乘两个x）
         3. 求出\(y'^*,\ y''^*\)，带入原方程，化简，解出待定系数a，b
         4. 将a，b带入\(y^* = e^{kx} Q_n(x)\)，即得特解
      4. 组合：最后结果为 齐次通解+特解

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