NOI2007 货币兑换

【问题描述】

小 Y最近在一家金券交易所工作。该金券交易所只发行交易两种金券：A纪念券（以下简称A券）和B纪念券（以下简称B券）。每个持有金券的顾客都有一个自己的 帐户。金券的数目可以是一个实数。每天随着市场的起伏波动，两种金券都有自己当时的价值，即每一单位金券当天可以兑换的人民币数目。我们记录第K天中A券 和B券的价值分别为AK和BK（元/单位金券）。
为了方便顾客，金券交易所提供了一种非常方便的交易方式：比例交易法。
比例交易法分为两个方面：
a)卖出金券：顾客提供一个[0，100]内的实数OP作为卖出比例，其意义为：将OP%的A券和OP%的B券以当时的价值兑换为人民币；
b)买入金券：顾客支付IP元人民币，交易所将会兑换给用户总价值为IP的金券，并且，满足提供给顾客的A券和B券的比例在第K天恰好为RateK；
例如，假定接下来3天内的Ak、Bk、RateK的变化分别为：

时间	Ak	Bk	Ratek
第一天	1	1	1
第二天	1	2	2
第三天	2	2	3

假定在第一天时，用户手中有100元人民币但是没有任何金券。
用户可以执行以下的操作：

时间	用户操作	人民币(元)	A券的数量	B券的数量
开户	无	100	0	0
第一天	买入100元	0	50	50
第二天	卖出50%	75	25	25
第二天	买入60元	15	55	40
第三天	卖出100%	205	0	0

注意到，同一天内可以进行多次操作。
小Y是一个很有经济头脑的员工，通过较长时间的运作和行情测算，他已经知道了未来N天内的A券和B券的价值以及Rate。他还希望能够计算出来，如果开始时拥有S元钱，那么N天后最多能够获得多少元钱。

【输入格式】

第一行两个正整数N、S，分别表示小Y能预知的天数以及初始时拥有的钱数。接下来N行，第K行三个实数AK、BK、RateK，意义如题目中所述。

【输出格式】

只有一个实数MaxProfit，表示第N天的操作结束时能够获得的最大的金钱数目。答案保留3位小数。

-----------------------------------------------------------

正解=动归+平衡树

考虑简单Dp

　 　状态：设f[i]为第i天能赚的最多钱为多少

　　 方程：f[i]=max(f[i-1],na*A+nb*B)(j< i)

　　　　(na,nb为第j天能换到的A劵数量和B劵数量)

考虑优化：

　　设 na 为 x，nb 为 y

　　则sum=x*A+y*B 既 y = -A/B*x+sum/B

　　由于A，B为定值

　　　sum的Max以 -A/B 为斜率的过点(x,y)的截距的Max*B

　　显然可能得到Max解截距的点必然是个上凸壳

　　　　建立以x为关键字的平衡树维护值（其实很简(dan)单(teng)）

由于在树上的点映射的截距具有单调性，

　　找最大值是便可通过平衡树的前驱后继判断Max在左子树或右子树；

代码如下：

　　

 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 #include<cstdio>
 #include<string>
 #include<iostream>
 #include<queue>
 #define INF 99999999
 #define LL long long
 #define Cint(o) const int o=0
 #define Cdou(o) const double o=0
 #define Min(num1,num2) if(num1>num2) num1=num2
 #define Max(num1,num2) if(num1<num2) num1=num2
 struct Tree{
     int l,r,f;
     double x,y;
     Tree(Cint(a1),Cint(a2),Cint(a3),Cdou(a4),Cdou(a5)):
         l(a1),r(a2),f(a3),x(a4),y(a5){}
 }a[];
 int Root,Total,n;
 const long double O=1e-;
 void cal(double sum,double A,double B,double K,double &na,double &nb){
     nb=sum/(A*K+B);
     na=nb*K;
 }
 void rig(int now){
     int f=a[now].f;
     a[now].f=a[f].f;
     if(a[a[f].f].l==f) a[a[f].f].l=now;
     if(a[a[f].f].r==f) a[a[f].f].r=now;
     a[f].f=now;
     a[f].l=a[now].r;
     a[a[now].r].f=f;
     a[now].r=f;
 }

 void lef(int now){
     int f=a[now].f;
     a[now].f=a[f].f;
     if(a[a[f].f].l==f) a[a[f].f].l=now;
     if(a[a[f].f].r==f) a[a[f].f].r=now;
     a[f].f=now;
     a[f].r=a[now].l;
     a[a[now].l].f=f;
     a[now].l=f;
 }
 double cross(Tree A,Tree B,Tree C){
     return (B.x-A.x)*(C.y-A.y)-(C.x-A.x)*(B.y-A.y);
             // x1 *y2-x2*y1
 }
 void splay(int now,int F=){
     while(a[now].f!=F){
         int f=a[now].f,ff=a[f].f;
         if(ff==F)
             if(a[f].l==now) rig(now);
             else lef(now);
         else
             if(a[ff].l==f)
                 if(a[f].l==now) rig(f),rig(now);
                 else lef(now),rig(now);
             else
                 if(a[f].l==now) rig(now),lef(now);
                 else lef(f),lef(now);
     }
     if(!F) Root=now;
 }

 void creat(){
     Total=;
     Root=;
     a[].r=;
     a[].f=;
     a[].x=-INF;
     a[].x=INF;
 }
 int prev(int now){
     splay(now);
     now=a[now].l;
     while(a[now].r) now=a[now].r;
     return now;
 }
 int succ(int now){
     splay(now);
     now=a[now].r;
     while(a[now].l) now=a[now].l;
     return now;
 }
 void del(int start,int now,int end){
     splay(start);
     splay(end,start);
     a[a[Root].r].l=;
     //printf("Delte(%d)",now);
 }
 void maintain(int now){
     int p=prev(now),s=succ(now);
     if(p!=&&s!=)
         if(cross(a[p],a[s],a[now])<O){
             del(p,now,s);
             return ;
         }
     while(){
         if(p==) break;
         int pp=prev(p);
         if(pp!=&&cross(a[pp],a[now],a[p])<O)
             del(pp,p,now),
             p=pp;
         else
             break;
     }
     while(){
         if(s==) break;
         int ss=succ(s);
         if(ss!=&&cross(a[now],a[ss],a[s])<O)
             del(now,s,ss),
             s=ss;
         else
             break;
     }
 }
 void insert(double x,double y){
     for(int now=Root;;){
         if(a[now].x-x<O&&x-a[now].x<O){
             Max(a[now].y,y);
             maintain(now);
             return ;
         }
         if(a[now].x-x>O)
             if(a[now].l)
                 now=a[now].l;
             else {
                 a[now].l=++Total;
                 a[Total].f=now;
                 a[Total].x=x;
                 a[Total].y=y;
                 maintain(Total);
                 return ;
             }
         else
             if(a[now].r)
                 now=a[now].r;
             else{
                 a[now].r=++Total;
                 a[Total].f=now;
                 a[Total].x=x;
                 a[Total].y=y;
                 maintain(Total);
                 return ;    

             }
     }
 }
 double fo(Tree now,double K){
     return now.y-now.x*K;
 }
 int pre(int now){
     //splay(now);
     now=a[now].l;
     while(a[now].r) now=a[now].r;
     return now;
 }

 int suc(int now){
 //    splay(now);
     now=a[now].r;
     while(a[now].l) now=a[now].l;
     return now;
 }
 double slove(double K){
     for(int now=Root;;){
         if(now==){
             now=suc(now);
             continue ;
         }
         if(now==){
             now=pre(now);
             continue ;
         }

         if(a[now].l){
             int k=pre(now);
             if(k!=&&fo(a[now],K)<fo(a[k],K)+O){
                 now=a[now].l;
                 continue ;
             }
         }
         if(a[now].r){
             int k=suc(now);
             if(k!=&&fo(a[now],K)<fo(a[k],K)+O){
                 now=a[now].r;
                 continue ;
             }
         }
         return fo(a[now],K);

     }
 }
 int main(){
     double A,B,K,na,nb,s;
     scanf("%d%lf",&n,&s);
     scanf("%lf%lf%lf",&A,&B,&K);
     creat();
     cal(s,A,B,K,na,nb);
     insert(na,nb);
     for(int i=;i<n;i++){
         scanf("%lf%lf%lf",&A,&B,&K);
         double temp=slove(-A/B)*B;
         Max(s,temp);
         cal(s,A,B,K,na,nb);
         insert(na,nb);
     }
     printf("%.3lf",s);
 }