动态规划——概率dp

所谓概率dp，用动态规划的思想找到一个事件中可能发生的所有情况，然后找到符合要求的那些情况数，除以总数便可以得到符合要求的事件发生的概率。其核心思想还是通过dp来得到事件发生的所有情况，很类似在背包专题中我们提及的组合记数问题。

我们通过具体的实例来体会概率dp这类问题。(Problem source : Light OJ 1064)

Description

n common cubic dice are thrown. What is the probability that the sum of all thrown dice is at least x?

Input

Input starts with an integer T (≤ 200), denoting the number of test cases.

Each test case contains two integers n (1 ≤ n < 25) and x (0 ≤ x < 150). The meanings of n and x are given in the problem statement.

Output

For each case, output the case number and the probability in 'p/q' form where p and q are relatively prime. If q equals 1 then print p only.

题目大意：给出整数n、x，同时抛掷n个筛子，求解点数和大于x情况出现的概率。

数理分析：我们更加细化的模拟这个抛掷筛子的过程，从第一个开始抛掷，不难发现有6种情况，然后抛掷第二个筛子，基于第一个筛子的6种情况，我们可以得到抛完第二个筛子后所有的情况，然后抛掷第三个筛子……

我们设置二维数组dp[i][j]表示抛掷i个筛子后，点数为j的情况数，我们容易得到如下的状态转移方程：

dp[i][j] = dp[i-1][j-k]  (k∈[1,6])

基于这个状态转移方程，我们不难得到第n个筛子抛掷后所有可能的情况的总数和符合要求的总数，这里根据题目的输出要求，需要是分数的最简形式，我们只需调用欧几里得算法求出最大公约数然后化简即可，而对于概率为0和1的特殊情况，设置条件进行判断即可。

参考代码如下。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>

using namespace std;

long long n , m , dp[][];

long long gcd(long long a , long long b)
{
     return b ==  ? a:gcd(b,a%b);
}

int main()
{
      int i , j , k , cas , T;
      scanf("%d",&T);
      for(cas = ;cas <= T;cas++)
      {
             scanf("%lld%lld",&n,&m);
             memset(dp ,  , sizeof(dp));
             dp[][] = ;
             for(i = ;i <= n;i++)
             {
                  for(j = ;j < ;j++)
                  {
                       for(k = ;k <=  && j-k >= ;k++)
                           dp[i][j] += dp[i-][j-k];
                  }
             }
             long long p , q , g;
                q = p = ;
                for(int i = ;i < ;i++)
                {
                    p += dp[n][i];
                    if(i >= m)
                       q += dp[n][i];
                }
                g = gcd(p , q);
                p/=g;
                q/=g;
                printf("Case %d: ",cas);
                if(q == )   printf("0\n");
                else if (q == p) printf("1\n");
                else  {printf("%lld/%lld\n",q,p);}
      }
}