WHU 1568 Product (DP、逆元)

题意：

定义f(x) 为数x的所有数字的乘积.

求满足f(k)=f(x)的不同的不含数字1的k的个数.

x的长度小于50.

不超过1000组数据.

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Solution:

由于函数是乘积的形式,可以由质因子着手分析:

数字的范围是1~9,1~9中只有2,3,5,7 四个质数，即f(x)可以表示为这四个质数的幂的乘积的形式.

注意到x的长度小于50,那么质因子最多不超过150(50个8),这个时候似乎可以通过枚举4 6 8 9这四个因子的个数来,得到答案.因为5,7可以单独处理,2和3的个数可以通过4,6,8,9的个数求得.另外4的个数不超过75.而6,8,9的个数也不超过50.从时间复杂度上看是我们能够接受的.但是数据有1000组.这似乎迫使我们采用能够预处理一些我们需要的东西的算法.

令f[k][i][j],为长度为k,含有i个2因子,j个3因子的数的个数.

对于f[k+1],不过是在k的后面加了2~9这8个数,只要对每个数,更新对应的i,j就行了.

这样我们可以先预处理足够大多的f[k][i][j],因为最多不过150个2因子,100个3因子,所以预处理到f[150][150][100]就够了.

对于一组输入,统计2,3,5,7这四个因子的个数,利用多重排列的公式计算出答案,因为要对除法取模,所以要用到逆元.

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#define LL long long
using namespace std;
const int MOD = ;
int n, m;
LL dp[][][], f[];
int sum[];
char s[];
LL Quikpower (LL  Base, LL  Power) {
    LL  k = ;
    while ( Power > ) {
        if (Power & ) k = (k * Base) % MOD;
        Base = (Base * Base) % MOD;
        Power >>= ;
    }
    return k;
}
LL cnt (LL k, int m, int a, int b) {
    LL ans = k;
    for (int i = ; i <= a + b; i++)
        ans = ans * (m + i) % MOD;
    ans = ans * Quikpower (f[a], MOD - ) % MOD;
    ans = ans * Quikpower (f[b], MOD - ) % MOD;
    return ans;
}
int main() {
    f[] = ;
    for (int i = ; i <= ; i++)
        f[i] = (f[i - ] * i) % MOD;
    dp[][][] = ;
    for (int i = ; i <= ; i++)
        for (int s2 = ; s2 <= ; s2++)
            for (int s3 = ; s3 <= ; s3++) {
                if (dp[i][s2][s3] == ) continue;
                dp[i + ][s2 + ][s3] = (dp[i + ][s2 + ][s3] + dp[i][s2][s3]) % MOD;//
                dp[i + ][s2][s3 + ] = (dp[i + ][s2][s3 + ] + dp[i][s2][s3]) % MOD; //
                dp[i + ][s2 + ][s3] = (dp[i + ][s2 + ][s3] + dp[i][s2][s3]) % MOD;//
                dp[i + ][s2 + ][s3 + ] = (dp[i + ][s2 + ][s3 + ] + dp[i][s2][s3]) % MOD; //
                dp[i + ][s2 + ][s3] = (dp[i + ][s2 + ][s3] + dp[i][s2][s3]) % MOD;//
                dp[i + ][s2][s3 + ] = (dp[i + ][s2][s3 + ] + dp[i][s2][s3]) % MOD; //
            }
    while (scanf ("%d", &n) != EOF) {
        scanf ("%s", s);
        memset (sum, , sizeof sum);
        for (int i = ; i < n; i++) {
            int k = s[i] - '';
            if (k ==  || k ==  || k == ) sum[]++;
            if (k ==  || k == ) sum[] += ;
            if (k ==  || k == ) sum[]++;
            if (k == ) sum[] += ;
            if (k == ) sum[]++;
            if (k == ) sum[]++;
        }
        int m = sum[] + sum[];
        LL ans = ;
        if (m + sum[] + sum[] != )
            for (int i = ; i <= m; i++)
                if (dp[i][sum[]][sum[]])
                    ans = (ans + cnt (dp[i][sum[]][sum[]], i, sum[], sum[]) ) % MOD;
        cout << ans << endl;
    }
}