BZOJ2521 最小生成树 最小割
5.26 T2:最小生成树
Description
Secsa最近对最小生成树问题特别感兴趣。他已经知道如果要去求出一个n个点、m条边的无向图的最小生成树有一个Krustal算法和另一个Prim的算法。另外,他还知道,某一个图可能有多种不同的最小生成树。例如,下面图 3中所示的都是图 2中的无向图的最小生成树:
当然啦,这些都不是今天需要你解决的问题。Secsa想知道对于某一条无向图中的边AB,至少需要多少代价可以保证AB边在这个无向图的最小生成树中。为了使得AB边一定在最小生成树中,你可以对这个无向图进行操作,一次单独的操作是指:先选择一条图中的边 P1P2,再把图中除了这条边以外的边,每一条的权值都减少1。如图 4所示就是一次这样的操作:
Input
输入文件的第一行有3个正整数n、m、Lab分别表示无向图中的点数、边数、必须要在最小生成树中出现的AB边的标号。
接下来m行依次描述标号为1,2,3…m的无向边,每行描述一条边。每个描述包含3个整数x、y、d,表示这条边连接着标号为x、y的点,且这条边的权值为d。
输入文件保证1<=x,y<=N,x不等于y,且输入数据保证这个无向图一定是一个连通图。
Output
输出文件只有一行,这行只有一个整数,即,使得标号为Lab边一定出现最小生成树中的最少操作次数。
Sample Input
4 6 1
1 2 2
1 3 2
1 4 3
2 3 2
2 4 4
3 4 5
Sample Output
1
HINT
第1个样例就是问题描述中的例子。
1<=n<=500,1<=M<=800,1<=D<10^6
Solution
首先,除了一条边,所有边的权值-1等价于这条边的权值+1。然后我们回忆Kruskal的过程,这条边保证在最小生成树上,等价于:如果我们只加入权值<=这条边权值的边,该条边的两端点无法连通。那么直接转化成最小割问题,割掉每条边的代价=选定边权值-当前边权值+1即可。
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
using namespace std;
const int inf=0x7fffffff,maxn=501;
int n,m,lab,tot,s,t,head[maxn],cur[maxn],dep[maxn],u[maxn<<1],v[maxn<<1],w[maxn<<1],to[maxn<<3],nxt[maxn<<3],val[maxn<<3];
void add_edge(int u,int v,int w){
nxt[++tot]=head[u];
to[tot]=v;
val[tot]=w;
head[u]=tot;
}
bool bfs(){
memset(dep,0,sizeof(dep));
queue<int> q;q.push(s);
dep[s]=1;
while(!q.empty()){
int u=q.front();q.pop();
for(int i=head[u];i;i=nxt[i]){
int v=to[i],w=val[i];
if(!w or dep[v])continue;
dep[v]=dep[u]+1;
if(v==t)return 1;
q.push(v);
}
}
return 0;
}
int dfs(int u,int now){
if(u==t or !now)
return now;
int ans=0;
for(int &i=cur[u];i;i=nxt[i]){
int v=to[i],w=val[i];
if(dep[v]==dep[u]+1 and w){
int dist=dfs(v,min(now,w));
if(dist){
val[i]-=dist;
val[i^1]+=dist;
now-=dist;
ans+=dist;
if(!now)
break;
}
}
}
return ans;
}
int dinic(){
int ans=0;
while(bfs()){
memcpy(cur,head,sizeof(head));
int tmp;
while(tmp=dfs(s,inf))ans+=tmp;
}
return ans;
}
int main(){
scanf("%d%d%d",&n,&m,&lab);
for(int i=1;i<=m;i++)
scanf("%d%d%d",&u[i],&v[i],&w[i]);
s=u[lab];t=v[lab];
for(int i=1;i<=m;i++){
if(i!=lab and w[i]<=w[lab]){
add_edge(u[i],v[i],w[lab]-w[i]+1);
add_edge(v[i],u[i],w[lab]-w[i]+1);
}
}
printf("%d",dinic());
return 0;
}
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