zoj 3649 lca与倍增dp

参考：http://www.xuebuyuan.com/609502.html

先说题意：

给出一幅图，求最大生成树，并在这棵树上进行查询操作：给出两个结点编号x和y，求从x到y的路径上，由每个结点的权值构成的序列中的极差大小——要求，被减数要在减数的后面，即形成序列{a₁,a₂…a_j …a_k…a_n}，求a_k-a_j (k>=j)的最大值。

求路径，显然用到lca。

太孤陋寡闻，才知道原来倍增dp能用来求LCA。

用p[u][i]表示结点u的第1<< i 个祖先结点，则有递推如下：

for(int i=0;i<POW;i++)  p[u][i]=p[p[u][i-1]][i-1]。

在对图dfs的时候即完成递推。

要想求两个结点的lca，首先使得两结点高度相同，若二者的父亲结点不同，则一直向上查找。dep数组表示结点的深度。

int LCA(int a,int b){

if(dep[a]>dep[b]) swap(a,b);

if(dep[a]<dep[b]){

//这一部分使得dep[a]==dep[b]

int tmp=dep[b]-dep[a];

for(int i=0;i<POW;i++) if(tmp&(1<<i))

//这里从POW-1到0来遍历也是一样的

b=p[b][i];

}

if(a!=b){

for(int i=POW-1;i>=0;i--) if(p[a][i]!=p[b][i])

a=p[a][i],b=p[b][i];

a=p[a][0],b=p[b][0];

}

return a;

}

如此即返回结点的lca。

用倍增遍历的思路：

因为一段路被二进制分成了一截一截，或者说路径长度被用二进制表示了出来。而两个结点的深度差即为“路径长度”，所以只要tmp&(1<<i)，则表示这是“路径”的其中一个结点，以此类推，从而得到两个深度相同的结点。

有了这个基础之后，用相同的方式构建——

mx数组，mx[u][i]表示从u到其第1<<i个祖先结点路径上的最大值

mn数组，mn[u][i]表示从u到其第1<<i个祖先结点路径上的最小值

dp数组，dp[u][i]，表示从u到其第1<<i个祖先结点路径上的最大差值

dp2数组，dp2[u][i]，表示从其第1<<i个祖先结点到u路径上的最大差值

构建好后是查询部分。给出结点x和y，获得lca。

则路径被分成两段—— x->lca->y。则有三种可能性：

x到lca上的最大差值；lca到y上的最大差值；x到y上的最大差值（即lca到y的最大值减去x到lca的最小值）。比较一下即可。

这题真心涨姿势。代码如下：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N=3e4+,M=N<<,POW=,inf=21e8;
int mx[N][POW],mn[N][POW],p[N][POW],dp[N][POW],dp2[N][POW];
int head[N],nxt[M],to[M],cnt,val[N],vis[N],dep[N];
int n,m,q,fa[N];
struct Edge{
    int u,v,w;
    bool operator < (const Edge e) const{
        return w>e.w;
    }
}E[M];
void ini(int n){
    memset(head,-,sizeof(head));
    cnt=;
    memset(vis,,sizeof(vis));
    fill(p[],p[n+],);
    fill(mx[],mx[n+],-inf);
    fill(mn[],mn[n+],inf);
    fill(dp[],dp[n+],-inf);
    fill(dp2[],dp2[n+],-inf);
    dep[]=;
}
int find_(int x){
    return x==fa[x]?x:fa[x]=find_(fa[x]);
}
void addedge(int u,int v){
    to[cnt]=v;
    nxt[cnt]=head[u];
    head[u]=cnt++;
}
int Kruskal(){
    for(int i=;i<=n;i++) fa[i]=i;
    sort(E,E+m);
    int sum=;
    for(int i=;i<m;i++){
        int a=find_(E[i].u),b=find_(E[i].v);
        if(a!=b){
            fa[a]=b;
            addedge(E[i].u,E[i].v);
            addedge(E[i].v,E[i].u);
            sum+=E[i].w;
        }
    }
    return sum;
}
void dfs(int u,int f){
    dep[u]=dep[f]+;
    vis[u]=;
    for(int i=head[u];~i;i=nxt[i]) if(!vis[to[i]]){
        int v=to[i];
        p[v][]=u;
        mx[v][]=max(val[u],val[v]);
        mn[v][]=min(val[u],val[v]);
        dp[v][]=val[u]-val[v];
        dp2[v][]=val[v]-val[u];
        for(int j=;j<POW;j++){
            p[v][j]=p[p[v][j-]][j-];
            mx[v][j]=max(mx[v][j-],mx[p[v][j-]][j-]);
            mn[v][j]=min(mn[v][j-],mn[p[v][j-]][j-]);

            dp[v][j]=max(dp[v][j-],dp[p[v][j-]][j-]);
            dp[v][j]=max(dp[v][j],mx[p[v][j-]][j-]-mn[v][j-]);

            dp2[v][j]=max(dp2[v][j-],dp2[p[v][j-]][j-]);
            dp2[v][j]=max(dp2[v][j],mx[v][j-]-mn[p[v][j-]][j-]);
        }
        dfs(v,u);
    }
}
int LCA(int a,int b){
    //第一次看到这样的LCA，holy high
    //有点不明觉厉
    if(dep[a]>dep[b]) swap(a,b);
    if(dep[a]<dep[b]){
        //这一部分使得dep[a]==dep[b]
        int tmp=dep[b]-dep[a];
        for(int i=POW-;i>=;i--) if(tmp&(<<i))
            b=p[b][i];
    }
    if(a!=b){
        //如果高度相等，而a!=b
        for(int i=POW-;i>=;i--) if(p[a][i]!=p[b][i])
            a=p[a][i],b=p[b][i];
        a=p[a][],b=p[b][];
    }
    return a;
}
int getmax(int x,int lca){
    int ans=,tmp=dep[x]-dep[lca];
    for(int i=POW-;i>=;i--) if(tmp&(<<i)){
        ans=max(ans,mx[x][i]);
        x=p[x][i];
    }
    return ans;
}
int getmin(int x,int lca){
    int ans=inf,tmp=dep[x]-dep[lca];
    for(int  i=POW-;i>=;i--) if(tmp&(<<i)){
        ans=min(ans,mn[x][i]);
        x=p[x][i];
    }
    return ans;
}
int getleft(int x,int lca){
    int ans=,minn=inf;
    int tmp=dep[x]-dep[lca];
    for(int i=POW-;i>=;i--) if(tmp&(<<i)){
        ans=max(ans,dp[x][i]);
        ans=max(ans,mx[x][i]-minn);
        minn=min(minn,mn[x][i]);
        x=p[x][i];
    }
    return ans;
}
int getright(int x,int lca){
    int ans=,maxx=;
    int tmp=dep[x]-dep[lca];
    for(int i=POW-;i>=;i--) if(tmp&(<<i)){
        ans=max(ans,dp2[x][i]);
        ans=max(ans,maxx-mn[x][i]);
        maxx=max(maxx,mx[x][i]);
        x=p[x][i];
    }
    return ans;
}
int main(){
    freopen("in.txt","r",stdin);
    while(~scanf("%d",&n)){
        for(int i=;i<=n;i++)
            scanf("%d",&val[i]);
        ini(n);
        scanf("%d",&m);
        for(int i=;i<m;i++)
            scanf("%d%d%d",&E[i].u,&E[i].v,&E[i].w);
        printf("%d\n",Kruskal());
        dfs(,);
        scanf("%d",&q);
        int x,y;
        while(q--){
            scanf("%d%d",&x,&y);
            int lca=LCA(x,y);
            int ans=getmax(y,lca)-getmin(x,lca);
            ans=max(ans,getleft(x,lca));
            ans=max(ans,getright(y,lca));
            printf("%d\n",ans);
        }
    }
    return ;
}