一本通 高手训练 1788 爬山 dp 斜率 凸包

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很早以前看的题目 发现自己想的完全不对 这道题还是比较有价值的。

先不考虑走的路线问题 考虑某个点能看到的最高的山。

分左边和右边来考虑 考虑左边 利用单调栈存长度单调递减的山 不能直接取最高的 因为最高的山可能被遮住了。

然后分析到底哪座山可以取 设当前点为i 对于一个点k来说 如果存在j<k 且 j,k,i连线是一个下凸包那么k就没用了。

容易发现如果把这些下凸包删掉 就是一个上凸包了 取凸包上和i相邻的点即可。

至此 得到一个通解左边形成的凸包离i最近的点 右边同理。

接下来考虑 如何求答案 暴力模拟可能复杂度很高 因为从一座山走到另一座山的途中路线可能会被修改。

容易从中发现 当前点会到达某个点 某个点会继续走下去 此时高度比原来大。

显然 这种顺序不存在环 所以只要找到这样的顺序就可以快速得到答案了。

进一步的可以发现 每个点都会到达最高的那个点 所以这些关系形成了一棵树。

只要建出来树就可以线性得到答案了。或者不需要建立树 直接每次到达那个关键点采用记忆化搜索即可。

考虑对于某个点的关键点 离自己最远的那个点显然有可能是关键点。

要么就是在路径上的点是关键点。注意开long long.

const int MAXN=500010;
int n,top;
struct wy
{
	int x,y;
}t[MAXN];
ll f[MAXN];int vis[MAXN];
int mx[MAXN],s[MAXN],fa[MAXN];
inline int pd(int i,int j,int k)
{
	return (ll)(y(i)-y(j))*(x(j)-x(k))<(ll)(y(j)-y(k))*(x(i)-x(j));
}
inline ll dfs(int x)
{
	if(vis[x])return f[x];
	vis[x]=1;
	if(!fa[x])return f[x];
	return f[x]=dfs(fa[x])+abs(x-fa[x]);
}
int main()
{
	freopen("1.in","r",stdin);
	get(n);y(0)=-1;
	rep(1,n,i)get(x(i)),get(y(i));
	rep(1,n,i)
	{
		while(top>1&&pd(s[top-1],s[top],i))--top;//形成下凸包.
		mx[i]=s[top];s[++top]=i;
	}
	top=0;
	fep(n,1,i)
	{
		while(top>1&&pd(i,s[top],s[top-1]))--top;
		mx[i]=y(s[top])>=y(mx[i])?s[top]:mx[i];s[++top]=i;
	}
	fep(n,1,i)if(y(mx[i])<=y(i)){mx[i]=i;break;}
	top=0;
	rep(1,n,i)
	{
		while(top&&(y(mx[i])>y(mx[s[top]])||(y(mx[i])==y(mx[s[top]])&&x(mx[i])>x(mx[s[top]]))))--top;
		if(mx[i]<i)fa[i]=s[top];s[++top]=i;
	}
	top=0;
	fep(n,1,i)
	{
		while(top&&(y(mx[i])>y(mx[s[top]])||(y(mx[i])==y(mx[s[top]])&&x(mx[i])>x(mx[s[top]]))))--top;
		if(mx[i]>i)fa[i]=s[top];s[++top]=i;
	}
	rep(1,n,i)dfs(i),putl(f[i]);
	return 0;
}