UOJ80 二分图最大权匹配

草，学了一下午假板子，sb博客害人

题目大意：

一个教室有\(n\)个男生和\(m\)个女生，某些男女之间愿意早恋（雾），其早恋好感度为\(w_i\)，问怎样让男女配对使得班里好感度之和最大

\(n\le 400\)

二分图最优匹配模型，KM算法板子题

在二分图中我们介绍了一些定义，包括最优匹配、完美匹配、顶标、相等子图

相等子图的完美匹配就是二分图的最优匹配

我们考虑先给每个点赋顶标，或者说对于好感度的期望值

首先每个男生的期望是她愿意早恋对象的好感度的最大值，女生是\(0\)（即每个男生都想要最喜欢的人，女生都很佛）

这样必定满足\(a_u+b_v\ge val(u,v)\)

然后试图在这个的相等子图中寻找完美匹配

不过大概率找不到

找不到怎么办呢？一般是出现了两个男生想要一个女生的情况，那么我们只能给某一个男生安排另外的女生，所以我们要降低已经匹配过男生的期望

当然为了不漏掉任何一个女生，我们不能降低的太多，应该降低到刚好刚才没被人选过的女生可以入选

也就是说我们对于每个刚才挑过人的男生，应该降低\(d=min\{a_u+b_v-val(u,v)\}\)其中\(vis_{boy}[u]=1,vis_{girl}[v]=0\)

但是男生们期望降低了，刚才匹配过的女生不能不要啊\(qwq\)，所以应该将刚才每个匹配过的女生期望增加\(d\)保证刚才被匹配过的女生不会被丢出相等子图

这样会保证参与过匹配的边不会被踢出匹配，同时保证有新的右部节点参与匹配

但是\(n\ne m\)的情况怎么办啊（雾）

那为了匹配顺利，我们只能添加好感度为\(0\)的假人了……

具体实现一些细节在代码里面：

\(dfs\)版本：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
namespace red{
#define int long long
#define eps (1e-8)
	inline int read()
	{
		int x=0;char ch,f=1;
		for(ch=getchar();(ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-';ch=getchar());
		if(ch=='-') f=0,ch=getchar();
		while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}
		return f?x:-x;
	}
	const int N=410,inf=0x3f3f3f3f;
	int n,m,k;
	int bl,br;
	int head[N],cnt;
	int love[N][N];
	int g[N];
	int f[N],ex_girl[N],ex_boy[N];
	int slack[N];
	bool vis_boy[N],vis_girl[N];
	inline bool find(int boy)//稍微魔改过的匈牙利
	{
		vis_boy[boy]=1;
		for(int girl=1;girl<=m;++girl)
		{
			if(vis_girl[girl]) continue;
			int gap=ex_boy[boy]+ex_girl[girl]-love[boy][girl];
			if(gap==0)//如果是相等子图，直接更新
			{
				vis_girl[girl]=1;
				if(!f[girl]||find(f[girl]))
				{
					f[girl]=boy;
					g[boy]=girl;
					return 1;
				}
			}
			else//不是的话记录一下最少改变多少期望
			{
				slack[girl]=min(slack[girl],gap);
			}
		}
		return 0;
	}
	inline void km()
	{
		for(int i=1;i<=n;++i)
		{
			for(int j=1;j<=n;++j)
			{
				ex_boy[i]=max(ex_boy[i],love[i][j]);//男生初始期望是所有好感度最大值
			}
		}
		for(int i=1;i<=n;++i)
		{
			memset(slack,inf,sizeof(slack));
			memset(vis_boy,0,sizeof(vis_boy));
			memset(vis_girl,0,sizeof(vis_girl));
			if(find(i)) continue;//如果直接匹配成功就可以跳了
			while("haku")//失败了，扩大相等子图范围
			{
				int d=inf,t;
				for(int j=1;j<=n;++j)
					if(!vis_girl[j]) d=min(d,slack[j]);//找到女生没被匹配过里面需要降低的最小值
				for(int j=1;j<=n;++j)
				{
					if(vis_boy[j]) ex_boy[j]-=d;//匹配过的男生降低d
					if(vis_girl[j]) ex_girl[j]+=d;//匹配过的女生提高d
					else//没被匹配过的女生
					{
						slack[j]-=d;
						if(!slack[j]) t=j;//如果男生全部削减完d之后可以进入相等子图，做个标记
					}
				}
				if(!f[t]) break;//如果进入的女生没有配对的男生，那么说明我们可以找到新的一对，变成完美匹配
				vis_girl[t]=1,vis_boy[f[t]]=1;//否则继续改变期望
				t=f[t];
				for(int j=1;j<=n;++j)
					slack[j]=min(slack[j],ex_boy[t]+ex_girl[j]-love[t][j]);
			}//注意不要在里面多次匈牙利，复杂度会炸
			memset(vis_boy,0,sizeof(vis_boy));
			memset(vis_girl,0,sizeof(vis_girl));
			find(i);
		}
		int ret=0;
		for(int i=1;i<=bl;++i)
		{
			ret+=love[i][g[i]];
		}
		printf("%lld\n",ret);
		for(int i=1;i<=bl;++i) printf("%lld ",love[i][g[i]]?g[i]:0ll);
		puts("");
	}
	inline void main()
	{
		n=read(),m=read(),k=read();
		bl=n,br=m;
		n=max(n,m),m=n;//假人代打
		for(int x,y,w,i=1;i<=k;++i)
		{
			x=read(),y=read(),w=read();
			love[x][y]=w;
		}
		km();
	}
}
signed main()
{
	red::main();
return 0;
}

\(bfs\)版本鸽子了，以后有空再补吧