[Swust OJ 247]--皇帝的新衣(组合数+Lucas定理)

题目链接：http://acm.swust.edu.cn/problem/0247/

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Description

在很久很久以前，有个臭美国王。一天，他得到了一件新衣，于是决定巡城看看老百姓的反应(囧)。于是他命令可怜的宰相数一下他有多少种巡城方案。 
城市是一个N*M的矩形，(N+1)*(M+1)条街把城市分成了N*M块。国王从左下角出发，每次只能向右或向上走，右上角是终点。 
请你帮帮可怜的宰相。

 

Input

每组测试数据有3个值 n m p(0< n <=1000000000,0 < m <=1000000000，p为质数且p<400). 

 

Output
多组测试数据 0 0 0结束。

输出方案数 因为数据太大 请 mod p

 

Sample Input

2 3 97

20 40 37

0 0 0

Sample Output

10

32

 

Hint

2009暑期ACM集训组队赛《一》 -- 剑问苍生

 

解题思路：从左下角到右上角的方案数，那么(假设方阵大小n*m)

　　　　　(1)向上必须移动n格，向右必然移动m格

　　　　　(2)只需要以向上或向右移动为基准求C(n+m) n 或者C(n+m) m的组合数即可，好好想想为什么吧~~~~

　　　　　　  可以有一个优化组合数上面的去n,m中的较小值(组合数性质)

　　　　　(3)发现n,m<=1000000000那么在求组合数的时候肯定会直接爆掉，那怕是在求的过程中不断MOD 数p，

　　　　　　　那么我们以p的上限值为界求组合数，运用Lucas定理求解

 

Lucas定理：(详情可以戳戳这里：http://www.cnblogs.com/zyxStar/p/4588362.html)

　　　　　　Lucas定理用来求C（a,b）mod p的值,其中p为素数。
　　　　　　数学表达式为：
　　　　　　Lucas(a,b,q)=C(a%q,b%q)*Lucas(a/p,b/p,p);
　　　　　　Lucas(a,0,q)=0;

　　　　　　模运算与基本四则运算有些相似，但是除法例外。其规则如下：
　　　　　　(a + b) % p = (a % p + b % p) % p （1）
　　　　　　(a - b) % p = (a % p - b % p) % p （2）
　　　　　　(a * b) % p = (a % p * b % p) % p （3）
　　　　　　a ^ b % p = ((a % p)^b) % p （4）

代码如下：

 #include <iostream>
 #include <cstring>
 #include <algorithm>
 #define maxn 405
 using namespace std;
 long long dp[maxn][maxn], n, m, p;
 long long Lucas(long long n, long long m, long long p){
     //Lucas定理
     if (n <= p && m <= p)
         return dp[n][m];
     else
         return (Lucas(n / p, m / p, p)*dp[n%p][m%p]) % p;
 }

 //杨辉三角求组合数
 void init(){
     int i, left, right;
     for (i = ; i <= p; i++){
         dp[i][] = dp[i][i] = ;
         left = , right = i - ;
         while (left <= right){
             dp[i][left] = (dp[i - ][left - ] + dp[i - ][left]) % p;
             dp[i][right--] = dp[i][left++];//组合数性质dp[i][j]=dp[i][i-j];
         }
     }
 }
 int main(){
     while (cin >> n >> m >> p && n && m && p){
         memset(dp, , sizeof(dp));
         init();
         cout << Lucas(n + m, min(n, m), p) << endl;
     }
     return ;
 }

乱搞的Java代码如下：

 import java.math.*;
 import java.io.*;
 import java.util.*;
 public class Main{
     static int DP[][] = new int[401][401];
     static int p;
     public static void main(String[] args)
     {
         Scanner cin = new Scanner(System.in);
         int a, b;
         while (cin.hasNext()){
             a = cin.nextInt();
             b = cin.nextInt();
             p = cin.nextInt();
             if (a == 0)
                 break;
             initDp();
             System.out.println(sloveRe(a + b, b > a ? a : b));
         }
     }
     private static void initDp(){
         int i, j;
         for (i = 0; i <= p; i++){
             DP[i][0] = 1;
         }
         for (i = 1; i <= p; i++){
             for (j = 1; j <= p; j++){
                 DP[i][j] = (DP[i - 1][j] + DP[i - 1][j - 1]) % p;
             }
         }
     }
     private static int sloveRe(int n, int m){
         if (n <= p&&m <= p)
             return DP[n][m];
         else
             return  (sloveRe(n / p, m / p)*DP[n%p][m%p]) % p;
     }
 }