关于C(m,n)%p的故事

序

遥远的\(\mod p\)(\(p\)是质数)大陆有一个恶魔：\[C(m,n)={m!\over n! (m-n)!}\]

于是大家有了各种求逆元的方法。这里MOD = p。

壹

for (int i = 0; i < MOD; i ++)
    rev_fact[i] = pow_mod(i, MOD - 2, MOD);

rev_fact[MOD - 1] = pow_mod(MOD - 1, MOD - 2, MOD);
for (int i = MOD - 2; i >= 0; i --)
    rev_fact[i] = (i64) rev_fact[i + 1] * (i + 1) % MOD;

下面的方法正确性在这里：

rev_fact[0] = rev_fact[1] = 1;
for (int i = 2; i < MOD; i ++)
    rev_fact[i] = (i64) rev_fact[MOD % i] * (MOD - MOD / i) % MOD;

int mod_inverse(int a, int m) {
    int x, y;
    extgcd(a, m, x, y);
    return (m + x % m) % m;
}
rev_fact[0] = 1;
for (int i = 1; i < MOD; i ++) rev_fact[i] = mod_inverse(i, MOD);

当然，最后都要加上：

for (int i = 2; i < MOD; i ++)
    rev_fact[i] = (i64) rev_fact[i] * rev_fact[i - 1] % MOD;

通过上面的预处理，有人使用下面的方法来对抗恶魔：

int C(int m, int n) {
    return (i64) fact[m] * rev_fact[n] % MOD * rev_fact[m - n] % MOD;
}

这样，\(\mod p\)大陆稳定了一段时间。

贰

随着恶魔力量不断加强，\(m,n\)不断变大，甚至超过了\(p\)。

于是大家尝试通过计算\(n! \mod p\)，进而计算\(C(m,n)\)。

有人说，当\(n < p\)时，\(n! \equiv 0 \mod p\)。
又有反对的声音：我们应该把被\(p\)整除的因子提出来。
于是有人提出计算\(n! \mod p\)的方法，来计算\(n!\equiv a p^e\)：

int mod_fact(int n, int p, int &e) {
    e = 0;
    if (n == 0) return 1;
    int ret = mod_fact(n / p, p, e);
    e += n / p;
    // 根据威尔逊定理  (p-1)! = -1
    if ((n / p) & 1) return (int) res * (p - fact[n % p]) % p;
    return (int) res * fact[n % p] % p;
}

这时，大家告诉有人，他找到了Lucas定理！

于是，恶魔就这样被虐了！

int Lucas(int m, int n) {
    if (n > m) return 0;
    if (m < 0 || n < 0) return 0;
    if (m < MOD && n < MOD)
        return (i64) fact[m] * rev_fact[n] % MOD *
            rev_fact[m - n] % MOD;
    else
        return (i64) Lucas(m / MOD, n / MOD) *
            Lucas(m % MOD, n % MOD) % MOD;
}

终

大家和有人的两个名字流传千古。不过另外一个\(\mod p\)大陆又出现了问题，这里\(p\)不是质数，他们能顶住恶魔的进攻吗？有人建议，去东方找着中国剩余定理！！

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