【线性代数】5-3:克莱姆法则，逆和体积(Cramer's Rule,Inverses,and Volumes)

title: 【线性代数】5-3:克莱姆法则，逆和体积(Cramer’s Rule,Inverses,and Volumes)

categories:

Mathematic
Linear Algebra

keywords:
Inverses
Cramer’s Rule
Volumes
Determinant
Cross Product

toc: true

date: 2017-11-05 10:09:53

Abstract: 本文主要介绍行列式的应用，包括求逆，求面积，求体积，以及叉乘的一些性质

Keywords: Inverses，Cramer’s Rule，Volumes，Determinant，Cross Product

开篇废话

废话已经变成每篇的例行公事了，不过我们还是来嘲笑一下Apple这个“垃圾”公司，憋了三五年搞出来个iPhone x，连个双胞胎都识别不出来，我们国内的各大小厂商随便搞个平面摄像头就搞定的简单任务，apple这么大个公司，用了三维图像都搞不出来，被各大网友嘲笑，其实之前好多VC都问我：“你这个识别双胞胎行不行”，我说，“No”，然后大哥语重心长的对我说“别人xx都能识别，你这个技术不到位啊”，以上对话真实存在，而且发生了好多次，后来我们的宣传口号就是"我们的摄像头亩产1亿斤小麦"，哈哈哈。希望业界技术能不断推陈出新，不断再创新高，也祝给为VC投资都有回报，祝那些双胞胎人脸准确率继续攀升。

Cramer’s Rule

Cramer应该是行列式研究比较关键的一个人，但绝对不是第一个人，他应该是把行列式单独出来研究的数学家，但是最一开始用行列式解方程的可能是莱布尼兹，所以行列式发明伊始毫无疑问是用来解方程的。Cramer法则也是用来解方程的，顺便也能求个逆什么的。

Ax=bAx=bAx=b

Ax=bAx=bAx=b 我们已经研究了有一段时间了，但是我们今天还要继续通过研究旧的知识来得到新的知识，其实数学知识体系应该就是这样的，一开始有几个公理，然后逐渐通过推导，证明，定义，引申，出来一个完整的数学体系，读陶哲轩的《analysis》和陈希孺的《概率与数理统计》都给人一种这个感觉，很简单的几个公理，能推导出一些列非常惊艳的理论和体系，然后经过我们专家们的努力，变成了各种难度的考试题。

Key Idea:

[A][x100x210x301]=[b1a12a13b2a22a23b3a32a33]=B1
\begin{bmatrix}
&&\\&A&\\&&
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_1&0&0\\x_2&1&0\\x_3&0&1
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
b_1&a_{12}&a_{13}\\b_2&a_{22}&a_{23}\\b_3&a_{32}&a_{33}
\end{bmatrix}=B_1
⎣⎡A⎦⎤⎣⎡x1x2x3010001⎦⎤=⎣⎡b1b2b3a12a22a32a13a23a33⎦⎤=B1

这个大家应该都理解了，如果按照列空间的模式来看，就是 B⃗\vec{B}B 被A矩阵射到列空间，然后为了和谐将 [010]\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}⎣⎡010⎦⎤ 和 [001]\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}⎣⎡001⎦⎤ 陪射到列空间，然后拼起来就是个矩阵乘矩阵等于矩阵了，这样有个非常不错的效果就是 [x100x210x301]\begin{bmatrix}x_1&0&0\\x_2&1&0\\x_3&0&1\end{bmatrix}⎣⎡x1x2x3010001⎦⎤ 这货的行列式是 x1x_1x1 ,那就可以了，利用行列式的性质，两边去行列式就有了

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