@loj - 2004@ 「SDOI2017」硬币游戏

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周末同学们非常无聊，有人提议，咱们扔硬币玩吧，谁扔的硬币正面次数多谁胜利。

大家纷纷觉得这个游戏非常符合同学们的特色，但只是扔硬币实在是太单调了。

同学们觉得要加强趣味性，所以要找一个同学扔很多很多次硬币，其他同学记录下正反面情况。

用 H 表示正面朝上， 用 T 表示反面朝上，扔很多次硬币后，会得到一个硬币序列。比如 HTT 表示第一次正面朝上，后两次反面朝上。

但扔到什么时候停止呢？大家提议，选出 n 个同学，每个同学猜一个长度为 m 的序列，当某一个同学猜的序列在硬币序列中出现时，就不再扔硬币了，并且这个同学胜利。为了保证只有一个同学胜利，同学们猜的 n 个序列两两不同。

很快， n 个同学猜好序列，然后进入了紧张而又刺激的扔硬币环节。你想知道，如果硬币正反面朝上的概率相同，每个同学胜利的概率是多少。

原题链接

@solution@

考虑构造概率生成函数。记 \(f_{i,j}\) 表示第 j 次抛硬币后第 i 名同学恰好获胜的概率，可以构造生成函数 \(F_i(x) = \sum_{p=0}f_{i, p}x^p\)。

再记辅助生成函数 \(g_{i}\) 表示第 i 次抛硬币后仍未结束的概率，构造生成函数 \(G(x) = \sum_{p=0}g_px^p\)。

最后需要求解的每个人的获胜概率 \(P_i = F_i(1) = \sum_{p=0}f_{i, p}\)。

有如下关系式存在：

\[G(x)x + 1 = G(x) + \sum_{i=1}^{n}F_i(x)
\]

意思是在一个未结束的序列后加一个字符，要么仍然未结束，要么某一个人获胜。

\[G(x)\times(\frac{1}{2})^m = \sum_{j=1}^{n}\sum_{k=1}^{m}[S_j[m-k...m-1] = S_i[0...k-1]]\times (\frac{1}{2})^{m - k}x^kF_j(x)
\]

意识是在一个未结束的序列后加上字符串 \(S_i\)，那么一定会结束。

但有可能提前结束，如果结束时 j 胜利，则存在关系 \(S_j[m-k...m-1] = S_i[0...k-1]\)，且反过来也是成立。

好像看不出来什么规律。不过注意到我们只需要求 \(F_i(1)\)，所以可以直接代 \(x = 1\)：

\[\sum_{i=1}^{n}F_i(1) = 1\\
\sum_{j=1}^{n}\sum_{k=1}^{m}[S_j[m-k...m-1] = S_i[0...k-1]]\times (\frac{1}{2})^{m - k}F_j(1) = G(1)\times(\frac{1}{2})^m
\]

这也是概率生成函数的一个好处。

至于剩下的，我们可以 kmp 求出满足 \(S_j[m-k...m-1] = S_i[0...k-1]\) 的所有 k。然后高斯消元即可。

以上这些全部抄自《浅谈生成函数在掷骰子问题上的应用》。

总之像这一类问题应该算是套路吧。。。也说不清楚怎么来的。

@accepted code@

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int MAXN = 300;

double M[MAXN + 5][MAXN + 5];
void gauss(int n, int m) {
	int r = 0, c = 0;
	while( r < n && c < m ) {
		int mxr = r;
		for(int i=r+1;i<n;i++)
			if( fabs(M[i][c]) >= fabs(M[mxr][c]) )
				mxr = i;
		if( mxr != r ) {
			for(int j=c;j<m;j++)
				swap(M[r][j], M[mxr][j]);
		}
		if( M[r][c] ) {
			double k = M[r][c];
			for(int j=c;j<m;j++)
				M[r][j] /= k;
			for(int i=0;i<n;i++) {
				if( i == r ) continue;
				k = M[i][c];
				for(int j=c;j<m;j++)
					M[i][j] -= k*M[r][j];
			}
			r++;
		}
		c++;
	}
}

char s[MAXN + 5][MAXN + 5]; int n, m;
char t[2*MAXN + 5]; int f[2*MAXN + 5];
void get() {
	for(int i=0;i<n;i++) {
		for(int j=0;j<n;j++) {
			for(int k=0;k<m;k++)
				t[k] = s[i][k];
			t[m] = '#';
			for(int k=0;k<m;k++)
				t[k+m+1] = s[j][k];
			f[0] = -1, f[1] = 0;
			for(int k=2;k<=2*m+1;k++) {
				f[k] = f[k-1];
				while( f[k] != -1 && t[f[k]] != t[k-1] )
					f[k] = f[f[k]];
				f[k]++;
			}
			int p = f[2*m + 1];
			while( p ) {
				M[i][j] += pow(2, -(m-p));
				p = f[p];
			}
		}
//		M[i][n] = -pow(2, -m);
		M[i][n] = -1;
	}
	for(int i=0;i<n;i++)
		M[n][i] = 1;
	M[n][n+1] = 1;
}

int main() {
	scanf("%d%d", &n, &m);
	for(int i=0;i<n;i++) scanf("%s", s[i]);
	get(), gauss(n + 1, n + 2);
	for(int i=0;i<n;i++)
		printf("%.10f\n", M[i][n+1]);
}

@details@

感觉莫名眼熟？一翻发现有一个 “[jsoi2009]有趣的游戏” 的题目，发现是自己记错了。。。

我原本以为概率生成函数 PGF 和其他的什么 EGF, OGF 差不多，后来发现和我以前做过的生成函数题还是有点区别。

最大的区别可能是 EGF 或 OGF 重要的是函数的系数，而 PGF 可能需要求函数（或者导函数）在 x = 1 上的值。

话说本题计算 2^(-300) 左右的数量级居然没什么精度误差。