归并排序(C++实现)

     归并排序是利用"归并"技术来进行排序。归并是指将若干个已排序的子文件合并成一个有序的文件。常见的归并排序有两路归并排序（Merge Sort），多相归并排序（Polyphase Merge Sort），Strand排序（Strand Sort）。下面介绍第一种：

（一）两路归并排序

最差时间复杂度：O(nlogn)
平均时间复杂度：O(nlogn)
最差空间复杂度：O(n)
稳定性：稳定

两路归并排序（Merge Sort），也就是我们常说的归并排序，也叫合并排序。它是建立在归并操作上的一种有效的排序算法，归并操作即将两个已经排序的序列合并成一个序列的操作。该算法是采用分治法（Divide and Conquer）的一个非常典型的应用。
归并操作的基本步骤如下：
1.申请两个与已经排序序列相同大小的空间，并将两个序列拷贝其中；
2.设定最初位置分别为两个已经拷贝排序序列的起始位置，比较两个序列元素的大小，依次选择相对小的元素放到原始序列；
3.重复2直到某一拷贝序列全部放入原始序列，将另一个序列剩下的所有元素直接复制到原始序列尾。

设归并排序的当前区间是R[low..high]，分治法的三个步骤是：
1.分解：将当前区间一分为二，即求分裂点
2.求解：递归地对两个子区间R[low..mid]和R[mid+1..high]进行归并排序；
3.组合：将已排序的两个子区间R[low..mid]和R[mid+1..high]归并为一个有序的区间R[low..high]。
递归的终结条件：子区间长度为1（一个记录自然有序）。

算法示意图：

代码实现：

void Merge(int *a, int p, int q, int r)
{
	int n1 = q-p+1;
	int n2 = r-q;
	int *L = new int[n1+1];
	int *R = new int[n2+1];
	int i, j, k;

	for (i=0; i<n1; i++){
		L[i] = a[p+i];
	}
	for (j=0; j<n2; j++){
		R[j] = a[q+j+1];
	}
	L[n1] = 10000000;
	R[n2] = 10000000;

	for (i=0, j=0, k=p; k<=r; k++)
	{
		if (L[i]<=R[j])
		{
			a[k] = L[i];
			i++;
		}else{
			a[k] = R[j];
			j++;
		}
	}

	delete []L;
	delete []R;
}

void MergeSort1(int *a, int p, int r)
{
	if (p<r)
	{
		int q = (p+r)/2;
		MergeSort1(a, p, q);
		MergeSort1(a, q+1, r);
		Merge(a, p, q, r);
	}
}

　　虽然插入排序的时间复杂度为O(n^2)，归并排序的时间复杂度为O(nlogn)，但插入排序中的常数因子使得它在n较小时，运行得要更快一些。因此，在归并排序算法中，当子问题足够小时，采用插入排序算法就比较合适了。

另一种实现：

//将有二个有序数列a[first...mid]和a[mid...last]合并。
void mergearray(int a[], int first, int mid, int last, int temp[])
{
	int i = first, j = mid + 1;
	int m = mid,   n = last;
	int k = 0;

	while (i <= m && j <= n)
	{
		if (a[i] <= a[j])
			temp[k++] = a[i++];
		else
			temp[k++] = a[j++];
	}

	while (i <= m)
		temp[k++] = a[i++];

	while (j <= n)
		temp[k++] = a[j++];

	for (i = 0; i < k; i++)
		a[first + i] = temp[i];
}
void mergesort(int a[], int first, int last, int temp[])
{
	if (first < last)
	{
		int mid = (first + last) / 2;
		mergesort(a, first, mid, temp);    //左边有序
		mergesort(a, mid + 1, last, temp); //右边有序
		mergearray(a, first, mid, last, temp); //再将二个有序数列合并
	}
}

bool MergeSort(int a[], int n)
{
	int *p = new int[n];
	if (p == NULL)
		return false;
	mergesort(a, 0, n - 1, p);
	delete[] p;
	return true;
}

　　

代码实现：

void MergeSort2(int *a, int p, int r)
{
	if ((r-p)>=50) // 小于50个数据的数组进行插入排序
	{
		int q = (p+r)/2;
		MergeSort2(a, p, q);
		MergeSort2(a, q+1, r);
		Merge(a, p, q, r);
	}else
	{
		InsertionSort(a+p, r-p+1);
	}
}

　　

MergeSort1与MergeSort2算法排序时间实验结果比较：

数据量	1K	10K	100K	1000K	10000K
MergeSort1	0.001s	0.008s	0.065s	0.552s	5.875s
MergeSort2	<0.001s	0.001s	0.021s	0.219s	2.317s