ZOJ 3949 Edge to the Root

题意：

在一棵树中，可以从根节点往其他节点加一条边，使得根节点到其他所有节点的距离和最小，输出最小的距离和。

思路：

我们考虑在加的一条边为$1 \to v$，那么在树上从$1 \to v$的路径上，如果有一个点$y$到$v$比到$1$更近，那么这个点$y$的子树里的所有

点都到$v$更近。那么我们找到离根最近的点$y$，那么$y$子树中的所有点都是到$v$更近。

我们考虑：

$f[u]$表示如果添加了$1 \to u$这条边的最小距离和是多少。

$g[u]$表示如果添加了$1 \to u$这条边有多少点到$u$的距离比到根的距离更小。

$sze[u]$表示$u$的子树的大小。

那么对于它的一个儿子$v$，$f[v] = f[u] - 2 \cdot sze[v] + g[u]$。

因为原来到$u$更优的，那么到$v$至少不会比到根更差，但是$v$的子树中的贡献要重新算。

然后更新一下儿子节点的$g[u]$就好了，这个时候到$v$和到根一样优的点就被删去了。

 #include <bits/stdc++.h>
 using namespace std;

 #define ll long long
 #define N 200010
 #define INFLL 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
 #define DEG 20
 int n;
 vector <int> G[N];

 int dep[N], fa[DEG][N], sze[N], k[N];
 void DFS1(int u)
 {
     k[u] = (dep[u]) /  - ;
     for (int i = ; i < DEG; ++i)
         fa[i][u] = fa[i - ][fa[i - ][u]];
     sze[u] = ;
     for (auto v : G[u]) if (v != fa[][u])
     {
         fa[][v] = u;
         dep[v] = dep[u] + ;
         DFS1(v); sze[u] += sze[v];
     }
 }

 int findkth(int u, int k)
 {
     for (int i = DEG - ; i >= ; --i)
         if ((k >> i) & )
             u = fa[i][u];
     return u;
 }

 int f[N]; ll g[N], res;
 void DFS2(int u)
 {
     if (u != )
     {
         if (dep[u] <= )
         {
             f[u] = sze[u];
             g[u] = g[] - 1ll * (dep[u] - ) * sze[u];
         }
         else
         {
             int pre = fa[][u];
             g[u] = g[pre] -  * sze[u] + f[pre];
             f[u] = sze[findkth(u, k[u])];
         }
     }
     res = min(res, g[u]);
     for (auto v : G[u]) if (v != fa[][u])
         DFS2(v);
 }

 int main()
 {
     int T; cin >> T;
     while (T--)
     {
         scanf("%d", &n);
         for (int i = ; i <= n; ++i) G[i].clear();
         memset(sze, , sizeof sze);
         for (int i = , u, v; i < n; ++i)
         {
             scanf("%d%d", &u, &v);
             G[u].push_back(v);
             G[v].push_back(u);
         }
         dep[] = ; DFS1();
         res = INFLL;
         g[] = ;
         for (int i = ; i <= n; ++i)
             g[] += dep[i];
         DFS2();
         printf("%lld\n", res);
     }
     return ;
 }