Zeta(2) 有图版

我很早就一直想写一篇文章，跟大家聊一聊：

$$\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2} +\frac{1}{3^2} +\frac{1}{4^2} +\frac{1}{5^2} +\cdots\ =\ \frac{π^2}{6}$$ 但一直没有机会，这次放暑假正好有空，于是手就痒了，写下此文，供大家娱(yǎ)乐(shǎng)。
本文假设读者热爱数学，并且曾经掌握过高中数学知识。

1. 首先我们要复习一下三角函数。

对于任意的角 $x$， 我们有 ${\sin^2 x}+\cos^2x=1$，这跟勾股定理是一回事。

接下来是一个重要的公式，建议读者通过画图理解
$$\sin(2x) = 2 \sin x \cos x$$

然后通过画出三角函数图像的方式，我们还可以轻易验证如下两条公式\begin{align*}\cos x & = \sin (x+\frac{π}{2}) \\ \sin x & =\sin(π-x) \end{align*}

2. 现在我们可以开始证明了。

(该证明取自美国数学月刊2002年2月第109期 pp. 196-200 作者系Josef Hofbauer。)

2.1

由于 $\sin(2x) = 2 \sin x \cos x$，所以 $$\sin x= 2 \sin(\frac{x}{2})\cos(\frac{x}{2})$$取倒数，平方，得 $$\frac{1}{\sin^2 x} = \frac{1}{4}\frac{1}{\sin^2(x/2)\cos^2(x/2)}$$然后根据 ${\sin^2 x}+\cos^2x=1$，我们有$$\frac{1}{\sin^2 x} = \frac{1}{4}\frac{\sin^2 (x/2)+\cos^2 (x/2)}{\sin^2(x/2)\cos^2(x/2)}=\frac{1}{4}( \frac{1}{\cos^2(x/2)} + \frac{1}{\sin^2(x/2)})$$接下来利用性质，$\cos(x/2) = \sin((x+π)/2)$，可得关系式
$$\ \ \ \ \ \ \frac{1}{\sin^2 x} = \frac{1}{4} (\frac{1}{\sin^2\frac{x}{2}} + \frac{1}{\sin^2\frac{x+π}{2}}) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (*) $$这是证明中最最核心的一步，我们称这个关系式为“(*)”。

根据定义可知 $$\sin(π/2) =\, \sin90°=1$$然后平方，取倒数，并反复利用(*)式，我们有 \begin{align*}
1 & = \frac{1}{\sin^2(π/2)} \\
& =\frac{1}{4} (\frac{1}{\sin^2(π/4)} + \frac{1}{\sin^2(3π/4)}) \\
& =\frac{1}{4^2} (\frac{1}{\sin^2(π/8)} + \frac{1}{\sin^2(3π/8)}+\frac{1}{\sin^2(5π/8)} + \frac{1}{\sin^2(7π/8)})\\
& = \dots
\end{align*}可以这样一直做下去。

现在，利用恒等式 $\sin(π-x)=\sin x$，可得 \begin{align*}
1 & =\frac{2}{4^2} (\frac{1}{\sin^2(π/8)} + \frac{1}{\sin^2(3π/8)}) \\
& =\frac{2}{4^3} (\frac{1}{\sin^2(π/16)} + \frac{1}{\sin^2(3π/16)}+\frac{1}{\sin^2(5π/16)} + \frac{1}{\sin^2(7π/16)}) \\ 
& ={\frac{2}{4^4} (\frac{1}{\sin^2(π/32)} + \frac{1}{\sin^2(3π/32)}+\frac{1}{\sin^2(5π/32)} +\dots + \frac{1}{\sin^2(15π/32)})}\\
& = \dots
\end{align*}我们将这个关系称为“(**)”式

2.2

有读者可能要问，为什么要像刚才那样做，其实原因马上就很清楚了，目的只有一个：让所有 $\sin()$里的值都是锐角。

因为对于锐角$x$，我们有 $\sin x < x < \tan x$

取倒数，平方，得$$\frac{1}{\sin^2 x} > \frac{1}{x^2} > \frac{1}{\tan^2 x}$$而我们又知道
$$\frac{1}{\tan^2 x}=\frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}=\frac{1-\sin^2 x}{\sin^2 x}=\frac{1}{\sin^2 x}-1$$所以
\begin{align}\frac{1}{\sin^2 x}-1<\frac{1}{x^2}<\frac{1}{\sin^2 x}\end{align}现在结合前面推导的关系(**):
\begin{align}1= \frac{2}{4^4} (\frac{1}{\sin^2(π/32)} + \frac{1}{\sin^2(3π/32)}+\frac{1}{\sin^2(5π/32)} +\dots + \frac{1}{\sin^2(15π/32)})\end{align}我们可以得到如下不等关系
\begin{align}
1-\frac{2}{4^4}*2^3 & <{\frac{2}{4^4} (\frac{1}{(π/32)^2} + \frac{1}{(3π/32)^2}+\frac{1}{(5π/32)^2} +\dots + \frac{1}{(15π/32)^2})} < 1\\
1-\frac{2}{4^4}*2^3 & < {\frac{2}{4^4}* 4^5 (\frac{1}{π^2} + \frac{1}{(3π)^2}+\frac{1}{(5π)^2} +\dots + \frac{1}{(15π)^2})} <1\\
1-\frac{1}{2^4}& < {\ 8\,(\frac{1}{π^2} + \frac{1}{(3π)^2}+\frac{1}{(5π)^2} +\dots + \frac{1}{(15π)^2})} <1
\end{align}

（各位读者请注意，刚才这三个不等关系(3)(4)(5)可能需要花时间仔细读懂。尤其是(3)，是全文中最难理解的一步，希望读者能耐心地读懂：如何可以从之前的公式(1)(2)推导出(3)？）

2.3

通过观察，我们可以发现，之前在(**)中，我们只用到$$1 = {\frac{2}{4^4} (\frac{1}{\sin^2(π/32)} + \frac{1}{\sin^2(3π/32)}+\frac{1}{\sin^2(5π/32)} +\dots + \frac{1}{\sin^2(15π/32)})}$$如果在之前，多利用(*)几次，使得(**)中 $\sin$ 的项数由 $8=2^3$ 项 增长为 $2^n$

则有$$1-\frac{1}{2^{n+1}} < {8(\frac{1}{π^2} + \frac{1}{(3π)^2}+\frac{1}{(5π)^2} +\cdots + 
\frac{1}{((2^{n+1}-1)π)^2})}<1$$当n很大时，$\frac{1}{2^{n+1}}$可以忽略不计，所以我们有 $${\,8\,(\frac{1}{π^2} + \frac{1}{(3π)^2}+\frac{1}{(5π)^2}+\frac{1}{(7π)^2} +\cdots)}= 1$$ 即 $$\frac{1}{1^2}+\frac{1}{3^2} +\frac{1}{5^2} +\frac{1}{7^2} +\cdots =\frac{π^2}{8} $$

2.4

现在我们离结论只有一步之遥,

令 $$\zeta(2) = \frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2} +\frac{1}{3^2} +\frac{1}{4^2} +\frac{1}{5^2} +\cdots\ $$ 那么 $$ \frac{\zeta(2)}{4} = \frac{1}{2^2}+\frac{1}{4^2} +\frac{1}{6^2} +\frac{1}{8^2} +\frac{1}{10^2} +\cdots $$ 两式相减，就能得到 $$\zeta(2)-\frac{\zeta(2)}{4} = \frac{1}{1^2}+\frac{1}{3^2} +\frac{1}{5^2} +\frac{1}{7^2} +\cdots =\frac{\pi^2}{8}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $$所以 $3\zeta(2) /4 = π^2/8$，求得 $\zeta(2) = π^2/6$，即我们要证的结论：

$$\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2} +\frac{1}{3^2} +\frac{1}{4^2} +\frac{1}{5^2} +\cdots\ =\ \frac{π^2}{6}$$

证明完毕！

怎么样，好玩吧，数学永远是这样，用最巧妙的逻辑链条构造最美丽的证明。
只要有一点点好奇心，和足够的耐心，人人都可以享受数学的乐趣。
祝大家暑假愉快。

贾博名
2014年6月20日 于 美国俄亥俄州哥伦布市 
(最新一次更新于2016年6月19日，再次感谢孙豪同学对本文初稿的认真阅读，并指出了多处笔误，现已更正。)