【PKUWC2018】猎人杀

题目描述

题目分析

设\(W=\sum\limits_{i=1}^nw_i\)，\(A=\sum\limits_{i=1}^nw_i[i\ is\ alive]\)，\(P_i\)为下一个打中\(i\)的概率。

如果开枪打中了已经死亡的猎人，我们可以视作再开一枪，这样就不会产生影响，因此有

\[\begin{split}
P_i&=\frac{W-A}{W}P_i+\frac{w_i}W\\
移项得\ P_i&=\frac{w_i}{A}
\end{split}
\]

考虑容斥，枚举\(S\)，强制\(|S|\)个人在\(1\)后被射杀，其他随意，

所以可以视作打中其他人与打中死亡的猎人等价，可以再开一枪，

因此，\(1\)号猎人在其他\(|S|\)个猎人前被射杀的概率为\(P_1\)

\[\begin{split}
ans&=\sum_S(-1)^{|S|}P_1\\
&=\sum_{S}(-1)^{|S|}\frac{w_1}{w_1+sum\_w_S}\\
&=w_1\sum_{S}(-1)^{|S|}\frac{1}{w_1+sum\_w_S}
\end{split}
\]

考虑生成函数，后面的和式等价于

\[\sum_{i=2}^n(1-x^{w_i})
\]

用分治+NTT求出，第\(i\)项的指数为\(sum\_w_S\)，系数为满足这个\(sum\)的容斥系数和。

若生成函数为\(\sum\limits_{i=0}^\infty a_ix^i\)，则

\[ans=\sum_{i=0}^\infty a_i\cdot \frac{w_1}{w_1+i}
\]

代码实现

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<iomanip>
#include<cstdlib>
#define MAXN 0x7fffffff
typedef long long LL;
const int N=400005,mod=998244353;
using namespace std;
inline int Getint(){register int x=0,f=1;register char ch=getchar();while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}while(isdigit(ch)){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;}
int ksm(int x,int k){
	int ret=1;
	while(k){
		if(k&1)ret=(LL)ret*x%mod;
		x=(LL)x*x%mod,k>>=1;
	}
	return ret;
}
int rev[N];
void NTT(int *a,int x,int K){
	int n=(1<<x);
	for(int i=0;i<n;i++)if(i<rev[i])swap(a[i],a[rev[i]]);
	for(int i=1;i<n;i<<=1){
		int tmp=i<<1,wn=ksm(3,(mod-1)/tmp);
		if(K==-1)wn=ksm(wn,mod-2);
		for(int j=0;j<n;j+=tmp){
			int w=1;
			for(int k=0;k<i;k++,w=(LL)w*wn%mod){
				int x=a[j+k],y=(LL)w*a[i+j+k]%mod;
				a[j+k]=(x+y)%mod;a[i+j+k]=(x-y+mod)%mod;
			}
		}
	}
	if(K==-1){
		int inv=ksm(n,mod-2);
		for(int i=0;i<n;i++)a[i]=(LL)a[i]*inv%mod;
	}
}
int w[N],sum[N];
void Binary(int *a,int l,int r){
	if(l==r)return a[0]=1,a[w[l]]=mod-1,void();
	int mid=l+r>>1;
	int f[N],g[N];
	memset(f,0,(sum[r]-sum[l-1]+1)<<3),memset(g,0,(sum[r]-sum[l-1]+1)<<3);
	Binary(f,l,mid),Binary(g,mid+1,r);
	int x=ceil(log2(sum[r]-sum[l-1]+2));
	for(int i=0;i<(1<<x);i++)rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<x-1);
	NTT(f,x,1),NTT(g,x,1);
	for(int i=0;i<(1<<x);i++)a[i]=(LL)f[i]*g[i]%mod;
	NTT(a,x,-1);
}
int a[N];
int main(){
	int n=Getint(),t=Getint();
	if(n==1)cout<<1,exit(0);n--;
	for(int i=1;i<=n;i++)w[i]=Getint(),sum[i]=sum[i-1]+w[i];
	Binary(a,1,n);
	int ans=0;
	for(int i=0;i<=sum[n];i++)
		ans=(ans+(LL)a[i]*t%mod*ksm(t+i,mod-2)%mod)%mod;
	cout<<ans;
	return 0;
}