【洛谷】P3518 [POI2011]SEJ-Strongbox

题目描述

有一个密码箱，0到n-1中的某些整数是它的密码。 且满足，如果a和b都是它的密码，那么(a+b)%n也是它的密码(a,b可以相等) 某人试了k次密码，前k-1次都失败了，最后一次成功了。 问：该密码箱最多有多少不同的密码。

输入格式

第一行n，k
  下面一行k个整数，表示每次试的密码
  保证存在合法解

输出格式

一行，表示结果
输入样例
  42 5
  28 31 10 38 24
输出样例
  14
提示
  1<=k<=250000 k<=n<=10^14

分析

首先不可能存在存在两个密码互质（这一点想了我半天

如果有两个密码互质，那么0到n-1就都是密码

证明

设两个密码分别为a，b，根据扩展欧几里得定理，以下方程肯定有解

$$ax+by=1$$

从而得知以下方程有解

$$ax+by\equiv1(mod \ n)$$

虽然题目中只能用加法，x与y可能小于0，但是因为

$$a(x+kn)+b(y+kn)\equiv ax+by\equiv1(mod \ n)$$

我应该是第一个在模运算中用连等的人

所以可以推出，如果有两个互质的密码，那么1也是密码

那么通过1自己加自己可以得出0到n-1都是密码

所以不存在互质的密码

用刚才的方法还可以一般性地证明，对于两个密码a与b，gcd(a,b)一定是密码

可以把gcd(a,b)看成万恶之源，它的倍数都是密码，进而衍生出了所有的密码。

如果一个数不是密码，那么它就绝对不是那个最小gcd的倍数

所以我们可以去枚举最小的gcd，验证是否可行。

显然gcd越小越好。

两种思路，一种是枚举后一个个验证，另一种是先去掉前k-1个数的约数再枚举。

Code 1

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
int k;long long n,a[],ans;
long long gcd(long long a,long long b){return !b?a:gcd(b,a%b);}
int check(long long x)
{
    for(int i=;i<=k;i++)if(a[i]%x==)return ;
    return ;
}
int main()
{
    scanf("%lld%d",&n,&k);
    for(int i=;i<=k;i++)scanf("%lld",&a[i]),a[i]=gcd(a[i],n);long long x=a[k];
    sort(a+,a+k);k=unique(a+,a+k)-a-;
    for(long long i=;i*i<=x;i++)if(x%i==)
    {
        if(check(i)){printf("%lld\n",n/i);return ;}
        if(check(x/i))ans=n/(x/i);
    }
    printf("%lld",ans);
}

Code 2

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
int k;
long long n,en,cnt,ans,a[],p[],q[],pri[];
inline long long gcd(long long a,long long b){return !b?a:gcd(b,a%b);}
int main()
{
    scanf("%lld%d",&n,&k);
    for(int i=;i<=k;i++)scanf("%lld",&a[i]);
    a[k]=gcd(a[k],n);
    for(int i=;i<k;i++)a[i]=gcd(a[i],a[k]);
    for(int i=;1ll*i*i<=a[k];i++)if(a[k]%i==)
    {q[++en]=i;if(1ll*i*i!=a[k])q[++en]=a[k]/i;}sort(q+,q++en);
    long long x=a[k];
    for(int i=;1ll*i*i<=x;i++)if(x%i==){pri[++pri[]]=i;while(x%i==)x/=i;}
    if(x!=)pri[++pri[]]=x;
    for(int i=;i<k;i++)p[lower_bound(q+,q+en+,a[i])-q]=;
    for(int i=en;i>=;i--)
    {
        if(p[i])
            for(int j=;j<=pri[];j++)
                if(q[i]%pri[j]==)p[lower_bound(q+,q+en+,q[i]/pri[j])-q]=;
    }
    cnt=;while(p[cnt])cnt++;
    printf("%lld\n",n/q[cnt]);
}