代码随想录算法训练营Day52 动态规划

代码随想录算法训练营

代码随想录算法训练营Day52 动态规划| 300.最长递增子序列 674. 最长连续递增序列 718. 最长重复子数组

300.最长递增子序列

题目链接：300.最长递增子序列

给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。

子序列是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如，[3,6,2,7] 是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的子序列。

示例 1：

• 输入：nums = [10,9,2,5,3,7,101,18]
• 输出：4
• 解释：最长递增子序列是 [2,3,7,101]，因此长度为 4 。

总体思路

首先通过本题大家要明确什么是子序列，“子序列是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序”。

本题也是代码随想录中子序列问题的第一题，如果没接触过这种题目的话，本题还是很难的，甚至想暴力去搜索也不知道怎么搜。 子序列问题是动态规划解决的经典问题，当前下标i的递增子序列长度，其实和i之前的下表j的子序列长度有关系，那又是什么样的关系呢。

用动规五部曲来详细分析一波：

1. dp[i]的定义
   
   本题中，正确定义dp数组的含义十分重要。
   
   dp[i]表示i之前包括i的以nums[i]结尾的最长递增子序列的长度
   
   为什么一定表示 “以nums[i]结尾的最长递增子序” ，因为我们在 做 递增比较的时候，如果比较 nums[j] 和 nums[i] 的大小，那么两个递增子序列一定分别以nums[j]为结尾 和 nums[i]为结尾， 要不然这个比较就没有意义了，不是尾部元素的比较那么 如何算递增呢。
2. 状态转移方程
   
   位置i的最长升序子序列等于j从0到i-1各个位置的最长升序子序列 + 1 的最大值。
   
   所以：if (nums[i] > nums[j]) dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
   
   注意这里不是要dp[i] 与 dp[j] + 1进行比较，而是我们要取dp[j] + 1的最大值。
3. dp[i]的初始化
   
   每一个i，对应的dp[i]（即最长递增子序列）起始大小至少都是1.
4. 确定遍历顺序
   
   dp[i] 是有0到i-1各个位置的最长递增子序列 推导而来，那么遍历i一定是从前向后遍历。
   
   j其实就是遍历0到i-1，那么是从前到后，还是从后到前遍历都无所谓，只要吧 0 到 i-1 的元素都遍历了就行了。 所以默认习惯 从前向后遍历。
   
   遍历i的循环在外层，遍历j则在内层，代码如下：

for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {
    for (int j = 0; j < i; j++) {
        if (nums[i] > nums[j]) dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
    }
    if (dp[i] > result) result = dp[i]; // 取长的子序列
}

1. 举例推导dp数组
   
   输入：[0,1,0,3,2]，dp数组的变化如下：
   
   
   
   如果代码写出来，但一直AC不了，那么就把dp数组打印出来，看看对不对！
   
   以上五部分析完毕，C++代码如下：

class Solution {
public:
    int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {
        if (nums.size() <= 1) return nums.size();
        vector<int> dp(nums.size(), 1);
        int result = 0;
        for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {
            for (int j = 0; j < i; j++) {
                if (nums[i] > nums[j]) dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
            }
            if (dp[i] > result) result = dp[i]; // 取长的子序列
        }
        return result;
    }
};

674. 最长连续递增序列

题目链接：674. 最长连续递增序列

给定一个未经排序的整数数组，找到最长且 连续递增的子序列，并返回该序列的长度。

连续递增的子序列 可以由两个下标 l 和 r（l < r）确定，如果对于每个 l <= i < r，都有 nums[i] < nums[i + 1] ，那么子序列 [nums[l], nums[l + 1], ..., nums[r - 1], nums[r]] 就是连续递增子序列。

示例 1：

• 输入：nums = [1,3,5,4,7]
• 输出：3
• 解释：最长连续递增序列是 [1,3,5], 长度为3。尽管 [1,3,5,7] 也是升序的子序列, 但它不是连续的，因为 5 和 7 在原数组里被 4 隔开。

总体思路

本题对[[#300.最长递增子序列]]最大的区别在于“连续”。

本题要求的是最长连续递增序列

动规五部曲分析如下：

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
   
   dp[i]：以下标i为结尾的连续递增的子序列长度为dp[i]。
   
   注意这里的定义，一定是以下标i为结尾，并不是说一定以下标0为起始位置。
2. 确定递推公式
   
   如果 nums[i] > nums[i - 1]，那么以 i 为结尾的连续递增的子序列长度 一定等于 以i - 1为结尾的连续递增的子序列长度 + 1 。
   
   即：dp[i] = dp[i - 1] + 1;
   
   注意这里就体现出和[[#300.最长递增子序列]]的区别！
   
   因为本题要求连续递增子序列，所以就只要比较nums[i]与nums[i - 1]，而不用去比较nums[j]与nums[i] （j是在0到i之间遍历）。
   
   既然不用j了，那么也不用两层for循环，本题一层for循环就行，比较nums[i] 和 nums[i - 1]。
   
   这里大家要好好体会一下！
3. dp数组如何初始化
   
   以下标i为结尾的连续递增的子序列长度最少也应该是1，即就是nums[i]这一个元素。
   
   所以dp[i]应该初始1;
4. 确定遍历顺序
   
   从递推公式上可以看出， dp[i + 1]依赖dp[i]，所以一定是从前向后遍历。
   
   本文在确定递推公式的时候也说明了为什么本题只需要一层for循环，代码如下：

for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {
    if (nums[i] > nums[i - 1]) { // 连续记录
        dp[i] = dp[i - 1] + 1;
    }
}

1. 举例推导dp数组
   
   
   
   注意这里要取dp[i]里的最大值，所以dp[2]才是结果！

class Solution {
public:
    int findLengthOfLCIS(vector<int>& nums) {
        if (nums.size() == 0) return 0;
        int result = 1;
        vector<int> dp(nums.size() ,1);
        for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {
            if (nums[i] > nums[i - 1]) { // 连续记录
                dp[i] = dp[i - 1] + 1;
            }
            if (dp[i] > result) result = dp[i];
        }
        return result;
    }
};

718. 最长重复子数组

题目链接：718. 最长重复子数组

给两个整数数组 A 和 B ，返回两个数组中公共的、长度最长的子数组的长度。

示例：

输入：

• A: [1,2,3,2,1]
• B: [3,2,1,4,7]
• 输出：3
• 解释：长度最长的公共子数组是 [3, 2, 1] 。
  
  提示：
• 1 <= len(A), len(B) <= 1000
• 0 <= A[i], B[i] < 100

总体思路

注意题目中说的子数组，其实就是连续子序列。

要求两个数组中最长重复子数组，如果是暴力的解法 只需要先两层for循环确定两个数组起始位置，然后再来一个循环可以是for或者while，来从两个起始位置开始比较，取得重复子数组的长度。

本题其实是动规解决的经典题目，我们只要想到 用二维数组可以记录两个字符串的所有比较情况，这样就比较好推 递推公式了。 动规五部曲分析如下：

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
   
   dp[i][j] ：以下标i - 1为结尾的A，和以下标j - 1为结尾的B，最长重复子数组长度为dp[i][j]。 （特别注意： “以下标i - 1为结尾的A” 标明一定是 以A[i-1]为结尾的字符串 ）
   
   此时细心的同学应该发现，那dp[0][0]是什么含义呢？总不能是以下标-1为结尾的A数组吧。
   
   其实dp[i][j]的定义也就决定着，我们在遍历dp[i][j]的时候i 和 j都要从1开始。
   
   那有同学问了，我就定义dp[i][j]为 以下标i为结尾的A，和以下标j 为结尾的B，最长重复子数组长度。不行么？
   
   行倒是行！ 但实现起来就麻烦一点，需要单独处理初始化部分，在本题解下面的拓展内容里，我给出了 第二种 dp数组的定义方式所对应的代码和讲解，大家比较一下就了解了。
2. 确定递推公式
   
   根据dp[i][j]的定义，dp[i][j]的状态只能由dp[i - 1][j - 1]推导出来。
   
   即当A[i - 1] 和B[j - 1]相等的时候，`dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
   
   根据递推公式可以看出，遍历i 和 j 要从1开始！
3. dp数组如何初始化
   
   根据dp[i][j]的定义，dp[i][0] 和dp[0][j]其实都是没有意义的！
   
   但dp[i][0] 和dp[0][j]要初始值，因为 为了方便递归公式dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1; 所以dp[i][0] 和dp[0][j]初始化为0。 举个例子A[0]如果和B[0]相同的话，dp[1][1] = dp[0][0] + 1，只有dp[0][0]`初始为0，正好符合递推公式逐步累加起来。
4. 确定遍历顺序
   
   外层for循环遍历A，内层for循环遍历B。
   
   那又有同学问了，外层for循环遍历B，内层for循环遍历A。不行么？
   
   也行，一样的，我这里就用外层for循环遍历A，内层for循环遍历B了。
   
   同时题目要求长度最长的子数组的长度。所以在遍历的时候顺便把dp[i][j]的最大值记录下来

for (int i = 1; i <= nums1.size(); i++) {
    for (int j = 1; j <= nums2.size(); j++) {
        if (nums1[i - 1] == nums2[j - 1]) {
            dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
        }
        if (dp[i][j] > result) result = dp[i][j];
    }
}

1. 举例推导dp数组
   
   拿示例1中，A: [1,2,3,2,1]，B: [3,2,1,4,7]为例，画一个dp数组的状态变化，如下：
   
   

// 版本一
class Solution {
public:
    int findLength(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {
        vector<vector<int>> dp (nums1.size() + 1, vector<int>(nums2.size() + 1, 0));
        int result = 0;
        for (int i = 1; i <= nums1.size(); i++) {
            for (int j = 1; j <= nums2.size(); j++) {
                if (nums1[i - 1] == nums2[j - 1]) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
                }
                if (dp[i][j] > result) result = dp[i][j];
            }
        }
        return result;
    }
};