BZOJ2818 Gcd

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Description

给定整数N，求1<=x,y<=N且Gcd(x,y)为素数的
数对(x,y)有多少对.

Input

一个整数N

Output

如题

Sample Input

4

Sample Output

4

HINT

对于样例(2,2),(2,4),(3,3),(4,2)

1<=N<=10^7

正解：线性筛+欧拉函数

解题报告：

　　考虑质数$p$的贡献就是$1$到$n/p$之间的互质对数。而对于$1$到$m$的互质对数，我们很容易发现只有当$a=b=1$时，两个数才有可能相等，那么我们只需要考虑$a<b$的情况。对于$b$，显然与$b$互质且小于$a$的个数就是$b$的欧拉函数。

　　因而，我们就可以得到一个简单的做法：线性筛筛出质数，同时求出每个数的欧拉函数，并得到欧拉函数的前缀和。然后我们再枚举一个素数$p$，对于p的贡献就是$1$到$n/p$的欧拉函数前缀和$*2-1$（减$1$是因为$a=1、b=1$被算了两次），累加所有素数的贡献就是答案。

　　值得注意的是，欧拉函数显然不是积性函数，开始我把欧拉函数当成积性函数做，$WA$了一发。欧拉函数满足如下性质：如果$i$ mod $p$ $!=0$，则$phi[i*p]=phi[i]*phi[p]$;否则$phi[i*p]=phi[i]*p$。这个式子就很方便我们在线性筛的时候递推了。

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#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <ctime>
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#include <set>
#include <string>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int MAXN = 10000011;
const int MAXM = 5000011;
int n,phi[MAXN],prime[MAXM],cnt;
LL sum[MAXM],ans;
bool vis[MAXN];

inline int getint(){
    int w=0,q=0; char c=getchar(); while((c<'0'||c>'9') && c!='-') c=getchar();
    if(c=='-') q=1,c=getchar(); while (c>='0'&&c<='9') w=w*10+c-'0',c=getchar(); return q?-w:w;
}

inline void work(){
	n=getint(); phi[1]=1; cnt=0; ans=0;
	for(int i=2;i<=n;i++) {
		if(!vis[i]) { phi[i]=i-1; prime[++cnt]=i; }
		for(int j=1;j<=cnt && ((LL)i*prime[j]<=n);j++) {
			vis[i*prime[j]]=1;
			//if(i%prime[j]==0) break;
			//并非积性函数
			if(i%prime[j]==0) { phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j]; break; }
			else phi[i*prime[j]]=phi[i]*phi[prime[j]];
		}
	}
	for(int i=1;i<=5000000;i++) sum[i]=sum[i-1]+phi[i];
	for(int i=1;i<=cnt;i++) ans+=2*sum[n/prime[i]]-1;
	printf("%lld",ans);
}

int main()
{
    work();
    return 0;
}