CDQ分治与整体二分小结

前言

　　这是一波强行总结。

　　下面是一波瞎比比。

　　这几天做了几道CDQ/整体二分，感觉自己做题速度好慢啊。

　　很多很显然的东西都看不出来 分治分不出来 打不出来 调不对

　　上午下午晚上的效率完全不一样啊。

　　完蛋.jpg 绝望.jpg。

关于CDQ分治

　　CDQ分治，求的是三维偏序问题都知道的。

　　求法呢，就是在分治外面先把一维变成有序

　　然后分治下去，左边(l,mid)关于右边(mid+1,r)就不存在某一维的逆序了，所以只有两维偏序了。

　　这个时候来一波"树状数组求逆序对"的操作搞一下二维偏序

　　就可以把跨过中线的，左边更新右边的情况计算出来。

　　注意：只计算左边的操作对右边的询问的贡献！

　　然后左右两边递归处理就好了。

　　正确性：按照线段树的形态递归的CDQ分治，保证每一对三元组在线段树上都有且仅有一个LCA(这不废话吗)，而这一组答案就会且仅会在LCA处计算。如果在LCA下面，点对不在一个work内自然不会计算。如果在LCA上面了，点对就在同一侧，不会互相更新。

　　复杂度：设一次work的复杂度是f(len)，则复杂度是O(f(n)logn)。

　　一般都在分治里用树状数组，一般的复杂度就是O(nlog²n)的。

　　一般是这样的套路：假设三维偏序分别为a,b,c；

　　在main函数里保证a递增。

　　然后在CDQ里先分治左右，传下去的时候a仍然递增，不破坏性质。

　　然后分治完左右两边后，需保证左右两边分别b都是递增的(a不重要)。

　　然后就是类似归并排序的操作了。

　　此时左边的a肯定都小于右边的a,那么如果对于一个右边的元素

　　之前类似归并的操作就可以保证所有小于b的左边的元素都已经遍历过。

　　那么找c也小于它的？值域线段树/树状数组等数据结构维护一下就好了。

　　然后你这么归并了一波后，就发现统计完答案后b是有序递增的了(这个时候a已经不重要了)。

　　对于上层操作，符合"左右两边分别b是递增的"了。

　　BZOJ陌上花开竟然是权限题？这是在搞笑。

　　好吧BZOJ动态逆序对，之前写过的，做两次CDQ就好了。

　　BZOJ稻草人，也是CDQ。

　　

关于整体二分

　　整体二分主要是把所有询问放在一起二分答案，然后把操作也一起分治。

　　什么时候用呢？

　　当你发现多组询问可以离线的时候

　　当你发现询问可以二分答案而且check复杂度对于单组询问可以接受的时候

　　当你发现询问的操作都是一样的的时候

　　你就可以使用整体二分这个东西了。

　　具体做法讲起来有些玄学。

　　想想：二分答案的时候，对于一个答案，是不是有些操作是没用的，有些操作贡献是不变的？

　　比如二分一个时间，那么时间后面发生的操作就是没有用的，时间前面的贡献是不变的。

　　二分一个最大值，比mid大的都是没用的，比mid小的个数是一定的。

　　整体二分就是利用了这么一个性质。

　　二分答案，然后把没有用的操作扫进右边，和答案在[mid+1,r]的询问一起递归处理。

　　把有用的操作放进左边，减去不变的贡献，和答案在[l,mid]的一起递归处理。

　　注意答案在[mid+1,r]的询问要算上放进了左边的操作的贡献，开个变量记下来/直接减掉都可以。

　　注意整体二分在solve内的复杂度一定只能与区间长度线性相关，不能每次都有别的复杂度！

　　比如一次solve的复杂度是O(lenlogn)就可以，O(len+sqrt(n))就不行。

　　大概就是这么一个东西。

　　复杂度？和CDQ是一样的，都是O(f(len)logn)。

　　例题？BZOJ3110 K大数查询　Codevs Meteors。

　　一样的套路了。

关于一些要注意的地方

　　归并一定要把剩下的搞完！每次我都忘记这码子事！

　　树状数组不能暴力清零！记个time或者依葫芦画瓢减回去都可以，一定不能清零！

　　不要在CDQ里面套sort，太慢辣！(一定进不了第一版的！)