复旦大学2013--2014学年第一学期（13级）高等代数I期末考试第七大题解答

七、（本题10分）设 \(A\) 为数域 \(K\) 上的 \(n\) 阶非异阵, 证明: 对任意的对角阵 \(B\in M_n(K)\),  \(A^{-1}BA\) 均为对角阵的充分必要条件是 \(A=P_1P_2\cdots P_r\), 其中 \(P_i\) 均为第一类初等阵 (即对换 \(I_n\) 的某两行) 或第二类初等阵 (即非零常数乘以 \(I_n\) 的某一行).

证明  充分性通过简单验证即可证明. 现证必要性, 设 \(A=(a_{ij})_{n\times n}\), 取 \(B=\mathrm{diag}\{1,2,\cdots,n\}\), 设 \(A^{-1}BA=C=\mathrm{diag}\{d_1,d_2,\cdots,d_n\}\). 由 \(BA=AC\) 知对任意的 \(i，j\) 成立: \[ia_{ij}=d_ja_{ij}.\]

因为 \(A\) 的每个列向量均非零, 故对任意的 \(1\leq j\leq n\), 存在某个行指标 \(i_j\) 使得 \(a_{i_j j}\neq 0\). 由上述条件可得 \[d_j=i_j,\,\,\forall\,1\leq j\leq n.\]

再次带入上述条件可得\[a_{ij}=0,\,\,\forall\,i\neq i_j,\,1\leq j\leq n.\]

由 \(A\) 的非异性知 \(A\) 的列向量线性无关, 从而 \(i_1,i_2,\cdots,i_n\) 是 \(1,2,\cdots,n\) 的全排列, 故通过若干次行对换可将 \(A\) 变为对角阵且主对角线上元素非零; 再通过若干次第二类初等行变换可将矩阵变为单位阵 \(I_n\), 故 \(A\) 是第一类初等阵和第二类初等阵的乘积.  \(\Box\)