【转】[NOIP2003普及组]麦森数

来源：http://vivid.name/tech/mason.html

不得不纪念一下这道题，因为我今天一整天的时间都花到这道题上了。因为这道题，我学会了快速幂，学会了高精度乘高精度，学会了静态查错，学会了一个小小的变量的使用可能会导致整个程序挂掉。。

Description

形如2^P-1的素数称为麦森数，这时P一定也是个素数。但反过来不一定，即如果P是个素数，2^P-1不一定也是素数。到1998年底，人们已找到了37个麦森数。最大的一个是P=3021377，它有909526位。麦森数有许多重要应用，它与完全数密切相关。
任务：从文件中输入P（1000 < P < 3100000），计算2^P-1的位数和最后500位数字（用十进制高精度数表示）

Input

只包含一个整数P（1000 < P < 3100000）

Output

第一行：十进制高精度数2^P-1的位数。
第2-11行：十进制高精度数2^P-1的最后500位数字。（每行输出50位，共输出10行，不足500位时高位补0）
不必验证2^P-1与P是否为素数。

Sample Input

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Sample Output

看到这题第一感觉是简单，很容易就看懂了。然后，就没有然后了。不知道怎么做了，直接不断乘2肯定不仅超时而且超出范围。。明显用高精度。然后不知道用高精度乘这么多次会不会超时，于是想到快速幂。

想归想，这俩算法我都不会。于是问百度，看题解，看了好久，终于在上午似懂非懂地编出了快速幂（求a^b%m)。下午继续研究，终于又编出了高精度乘高精度的程序。这可完全是我自己蒙出来的，我没找到高精度乘高精度的例程。所以毫无悬念地在2^p，p上万时挂掉了。
就是因为自己想的高*高用了t、tt以及计算时处理进位，程序在次数较高的时候才挂掉了。这三个全部改掉才可以，只改掉任何一个仍然会挂。

本题分两问，第一问求位数，可以证明：当x有n位时，必有10^(n-1)<=x<10^n（如x有3位时必有100=10^2<=x<1000=10^3），取常用对数，n-1<=lgx<n，即lgx的整数部分是n-1，也就是说数x的位数是lg(x)的整数部分+1。故欲求x的位数只需求floor(log10(x)+1).

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PS：注意：原文这里描述是“故欲求x的位数只需求floor(log10(x)+1+0.5)（floor(x+0.5)是计算x的整数部分，这样可以避免浮点误差）。”

其实这个浮点数x加上0.5的最主要功能是四舍五入。这里多加0.5的话，会使得有些情况下的计算结果比正确结果多1.

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然后第二问是去掉了取模运算、用上高精度的快速幂：

while(p>)
{
    if(p==)
    {
　　　　mul(ans,a);
　　　　break;
　　}
    else
    {
        if(p%) mul(ans,a);
        p/=;
        mul(a,a);
    }
}

话说我看了很多题解，都发现里面有一句“末位不要忘了减1”，一直百思不得其解。直到最后我才明白，原来是因为题目让算2^p-1。。还有，写这个程序的时候除了很多小错，比如递减的for循环写成了i++，x[i]*y[j]写成了x[i]*y[i]……这些都是编译器查不出来的，只有静态查错，也就是传说中的用眼睛自己看，才可以查到。从此以后我再也不敢完全依靠编译器了。

废话不多说，直接贴AC程序：

 #include<stdio.h>
 #include<stdlib.h>
 #include<string.h>
 #include<math.h>

 void mul(int x[],int y[])
 {
     /*   x*y->x   */
     int tmp[]={},lx=,ly=,i,j,len;
     memset(tmp,,sizeof(tmp));
     while(x[lx]==&&lx>) lx--; //计算x首位位置
     while(y[ly]==&&ly>) ly--; //计算y首位位置
     len=lx+ly;
     for(i=;i<=ly;i++)
        for(j=;j<=lx;j++)
            if(i+j-<=) tmp[i+j-]+=y[i]*x[j];
     for(i=;i<=;i++) {tmp[i+]+=tmp[i]/; tmp[i]%=; if(i<&&tmp[i+]==) {len=i; break;}}
     for(i=;i>;i--) x[i]=tmp[i];
 }
 int main()
 {
     long p;
     int ans[]={},a[]={},i;
     scanf("%ld",&p);
     printf("%ld\n",(long)floor(p*log10()+));
     /*快速幂求2^p,同时用高精度乘法*/
     ans[]=; a[]=;
     while(p>){
     if(p==) {mul(ans,a); break;}
     else{
     if(p%) mul(ans,a);
     p/=;
     mul(a,a);}
     }
     ans[]-=;
     for(i=;i>;i--) {printf("%d",ans[i]); if((i-)%==) printf("\n");}
     //system("pause");
     return ;
 }

参考原文的代码，简化了一些地方：

 #include<stdio.h>
 #include<math.h>
 //#include<string.h>
 void mul(int x[],int y[]);
 int main()
 {
     long p;
     int num=;
     int ans[]={},a[]={},i;
     freopen("Mason.in","r",stdin);
     freopen("Mason.out","w",stdout);
     scanf("%ld",&p);
     num=(int)floor(p*log10()+);
     printf("%d\n",num);

     /*快速幂求2^p,同时用高精度乘法*/
     ans[]=; a[]=;
     while(p>)
     {
         if(p&)      //if(p%2==1)
             mul(ans,a);
         p=p>>;      //p=p/2;
         mul(a,a);    //a*a -> a
     }
     ans[]-=;     //这个地方其实直接减1会有bug。当ans[1]为0的时候是错误的结果。所以可以采用下面的方法减1。但是对这个题目而言，2^p-1必然是奇数，也即个位是不可能为0。(ans[1]不会为0.)
     /*for(i=1;i<=500;i++)
     {
         if(ans[i]>0) {ans[i]--;break;}
     }
     for(;i>=1;i--) ans[i]=9;*/
     for(i=;i>;i--) {printf("%d",ans[i]); if((i-)%==) printf("\n");}
     printf("\n");
     return ;
 }
 void mul(int x[],int y[])
 {
     /*   x*y->x   */
     int tmp[]={},lx=,ly=,i,j,len;  //tem[]一定要清零。
     //memset(tmp,0,sizeof(tmp));
     while(x[lx]==&&lx>) lx--; //计算x首位位置
     while(y[ly]==&&ly>) ly--; //计算y首位位置
     len=lx+ly;
     for(i=;i<=ly;i++)
        for(j=;j<=lx;j++)
            if(i+j-<=) tmp[i+j-]+=y[i]*x[j];   //if语句是保证只保留500位
     for(i=;i<=;i++)
     {
         tmp[i+]+=tmp[i]/; //把进位的值加到高位
         tmp[i]%=;
         /*if(i<500&&tmp[i+1]==0)
         {len=i; break;}*/  //这个地方没理解其用意，似乎只是优化循环次数。但len没有使用的机会，所以干脆删除掉比较好。
     }
     for(i=;i>;i--) x[i]=tmp[i];  //把结果复制到x数组
 }