第2章 数字之魅——斐波那契（Fibonacci）数列

斐波那契（Fibonacci）数列

问题描述

递归算法：

 package chapter2shuzizhimei.fibonacci;
 /**
  * Fibonacci数列递归求解
  * @author DELL
  *
  */
 public class Fibonacci1 {
     public static int fibonacci(int n){
         if(n<=0)
             return 0;
         else if(n==1)
             return 1;
         else
             return fibonacci(n-1)+fibonacci(n-2);
     }
     public static void main(String[] args) {
         int n = 3;
         System.out.println("fibonacci("+n+") = "+fibonacci(n));

     }

 }

我们的问题是：有没有更加优化的解法？

分析与解法

【解法一】递推关系的优化

上述递归算法中有着很多的重复计算，利用一个数组存储中间结果避免重复计算。时间复杂度为O(N)，空间复杂度也为O(N)。

算法如下：

 package chapter2shuzizhimei.fibonacci;
 /**
  * Fibonacci数列求解
  * 【解法一】递推关系的优化
  * @author DELL
  *
  */
 public class Fibonacci2 {
     private static int f[];
     public Fibonacci2(int n){
         f = new int[n+1];
         for(int i=0;i<n;i++){
             f[i]=-1;
         }
     }
     public static int fibonacci(int n){
         if(n<=0){
             f[0]=0;
             return 0;
         }
         else if(n==1){
             f[1]=1;
             return 1;
         }
         else{
             if(f[n-1]==-1){
                 if(f[n-2]==-1)
                     return fibonacci(n-1)+fibonacci(n-2);
                 else
                     return fibonacci(n-1)+f[n-2];
             }else{
                     return f[n-1]+f[n-2];
             }
         }
     }
     public static void main(String[] args) {
         int n = 3;
         new Fibonacci2(n);
         System.out.println("fibonacci("+n+") = "+fibonacci(n));

     }

 }

程序运行结果如下：

fibonacci(3) = 2

【解法二】采用非递归求解

算法如下：

 package chapter2shuzizhimei.fibonacci;
 /**
  * Fibonacci数列求解
  * 【解法二】非递归
  * @author DELL
  *
  */
 public class Fibonacci3 {
     public static int fibonacci(int n){
         if(n<=0)
             return 0;
         else if(n==1)
             return 1;
         else{
             int f0 = 0,f1 = 1,f2 = 0;
             for(int i=2;i<=n;i++){
                 f2 = f0 + f1;
                 f0 = f1;
                 f1 = f2;
             }
             return f2;
         }
     }
     public static void main(String[] args) {
         int n = 3;
         System.out.println("fibonacci("+n+") = "+fibonacci(n));

     }

 }

程序运行结果如下：

fibonacci(3) = 2

【解法三】求解通项公式

算法代码如下：

 package chapter2shuzizhimei.fibonacci;
 /**
  * Fibonacci数列求解
  * 【解法三】求解通项公式
  * @author DELL
  *
  */
 public class Fibonacci4 {
     public static long fibonacci(int n){
         double x = Math.sqrt(5);
         double f = (x/5)*Math.pow((1+x)/2, n) - (x/5)*Math.pow((1-x)/2, n);
         return Math.round(f);
     }
     public static void main(String[] args) {
         int n = 3;
         System.out.println("fibonacci("+n+") = "+fibonacci(n));

     }

 }

程序运行结果如下：

fibonacci(3) = 2

【解法四】分治策略

要先导入JAMA：Java矩阵包

 package chapter2shuzizhimei.fibonacci;

 import Jama.Matrix;

 /**
  * Fibonacci数列求解
  * 【解法四】分治策略
  * @author DELL
  *
  */
 public class Fibonacci5 {
     //求解矩阵A的n次方
     public static Matrix MatrixPow(Matrix A, int n){
         int m = A.getColumnDimension();
         Matrix result = new Matrix(m,m); //生成全为0的矩阵
         for(int i=0;i<m;i++){  //变成单位矩阵
             result.set(i, i, 1);
         }
         Matrix temp = A;
         while(n!=0){
             if((n&0x01)==1)
                 result = result.times(temp);  //矩阵的乘法
             temp = temp.times(temp);
             n >>= 1;
         }
         return result;
     }
     //计算Fibonacci数列
     public static long fibonacci(int n){
         if(n<=0)
             return 0;
         else if(n==1)
             return 1;
         else{
             Matrix A = new Matrix(2,2,1); //生成全为1的矩阵
             A.set(1, 1, 0);
             Matrix B = MatrixPow(A, n-1);
             return (long) B.get(0, 0);
         }
     }
     public static void main(String[] args) {
         int n = 5;
         System.out.println("fibonacci("+n+") = "+fibonacci(n));

     }

 }

程序运行结果如下：

fibonacci(5) = 5

扩展问题

　　假设A(0)=1，A(1)=2，A(2)=2。对于n>2，都有A(K) = A(k-1) + A(k-2) +A(k-3)。

　　1. 对于任何一个给定的n，如何计算出A(n)?

　　2. 对于n非常大的情况，如n=2⁶⁰的时候，如何计算A(n) mod M (M<100000)呢？

问题1：非递归解法，代码如下：

 package chapter2shuzizhimei.fibonacci;
 /**
  * 扩展问题1求解
  * 非递归
  * @author DELL
  *
  */
 public class Fibonacci6 {
     public static int A(int n){
         if(n<=0)
             return 1;
         else if(n==1||n==2)
             return 2;
         else{
             int f0 = 1,f1 = 2,f2 = 2,f3 = 0;
             for(int i=3;i<=n;i++){
                 f3 = f0 + f1 + f2;
                 f0 = f1;
                 f1 = f2;
                 f2 = f3;
             }
             return f3;
         }
     }
     public static void main(String[] args) {
         int n = 4;
         System.out.println("A("+n+") = "+A(n));

     }

 }

程序运行结果如下：

A(4) = 9

问题2：非递归解法，代码如下：

 package chapter2shuzizhimei.fibonacci;
 /**
  * 扩展问题2求解
  * 非递归
  * @author DELL
  *
  */
 public class Fibonacci7 {
     //计算A(n) mod m
     public static long A(long n,long m){
         if(n<=0)
             return 1;
         else if(n==1||n==2)
             return 2;
         else{
             long f0 = 1,f1 = 2,f2 = 2,f3 = 0;
             for(int i=3;i<=n;i++){
                 f0 = f0%m;
                 f1 = f1%m;
                 f2 = f2%m;
                 f3 = f0 + f1 + f2;
                 f0 = f1;
                 f1 = f2;
                 f2 = f3;
             }
             return f3%m;
         }
     }
     public static void main(String[] args) {
         long n = (long) Math.pow(2, 10);
         long m = 100;
         System.out.println("A("+n+") = "+A(n,m));

     }

 }

程序运行结果如下：

A(1024) = 97