暑假集训单切赛第一场 CF 266E More Queries to Array(线段树+二项式展开式)

比赛时，第二题就是做的这个，当时果断没仔细考虑，直接用线段树暴力求。结果易想而知，超时了。

比赛后搜了搜题解，恍然大悟。

思路：显然用线段树，但是由于每次查询都会有变，所以不可能存储题目中的式子。
   这里要注意：k的值非常小，所以应该是将式子按二项式定理展开
   (i-L+1)^k=(i+(1-L))^k
   展开之后可以发现：我们可以在节点存储ai*i,ai*i^2,ai*i^3,ai*i^4,ai*i^5 (L<=i<=R)的累加和。
   至于关于(1-L)^j(j=0~5)可以预先枚举所有的L，预先处理一下用数组存储。
   展开式要用到组合，所以组合也要预先处理一下。
  
   当更新时，我们发现l<=i<=r区间中所有的ai都变为x，
   累加和分别为x*(L+...+R),x*(L^2+...+R^2),x*(L^3+...+R^3),...,x*(L^5+...+R^5)
   因此我们也要预先处理1^j+2^j+...+n^j的和，存到一个数组中去

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <queue>

using namespace std;
const long long mod=;
const int maxn=*;
const int maxnN=;
int n,m,k;
int L,R;
long long ans;
int C[][];
long long S[maxnN][];    //S[i][j]存储(1-i)^j的值
long long LMi[maxnN][];  //LMi[i][j]存储i^j的值，1<=i<=n，即ai*i^j中的i^j
long long sum[maxnN][];  //sum[i][j] 表示1^j+2^j……+i^j的值
struct Node {
    int left,right;
    long long pow0,pow1,pow2,pow3,pow4,pow5;   //powj: ai*i^j的和,j=0~5
    bool lazy;
    int add;
} tree[maxn];

void init1() {
    C[][]=;
    for(int i=; i<=; i++) {
        C[i][]=;
        C[i][i]=;
        for(int j=; j<i; j++) {
            C[i][j]=C[i-][j-]+C[i-][j];
        }
    }
}

void init2() {
    memset(sum,,sizeof(sum));
    for(int i=; i<=n; i++) {
        S[i][]=;
        LMi[i][]=;
        sum[i][]=i;
        for(int j=; j<=; j++) {
            LMi[i][j]=(LMi[i][j-]*i)%mod;
            S[i][j]=(S[i][j-]*(-i)%mod+mod)%mod;
            sum[i][j]=(sum[i-][j]+LMi[i][j])%mod;
        }
    }
}

void pushUp(int rt) {
    tree[rt].pow0=(tree[rt<<].pow0+tree[rt<<|].pow0)%mod;
    tree[rt].pow1=(tree[rt<<].pow1+tree[rt<<|].pow1)%mod;
    tree[rt].pow2=(tree[rt<<].pow2+tree[rt<<|].pow2)%mod;
    tree[rt].pow3=(tree[rt<<].pow3+tree[rt<<|].pow3)%mod;
    tree[rt].pow4=(tree[rt<<].pow4+tree[rt<<|].pow4)%mod;
    tree[rt].pow5=(tree[rt<<].pow5+tree[rt<<|].pow5)%mod;
}

void build(int left,int right,int rt) {
    tree[rt].left=left;
    tree[rt].right=right;
    tree[rt].lazy=false;
    tree[rt].add=;
    if(left==right) {
        scanf("%I64d",&tree[rt].pow0);
        tree[rt].pow1=(tree[rt].pow0*LMi[left][])%mod;
        tree[rt].pow2=(tree[rt].pow0*LMi[left][])%mod;
        tree[rt].pow3=(tree[rt].pow0*LMi[left][])%mod;
        tree[rt].pow4=(tree[rt].pow0*LMi[left][])%mod;
        tree[rt].pow5=(tree[rt].pow0*LMi[left][])%mod;
        return;
    }
    int mid=(left+right)>>;
    build(left,mid,rt<<);
    build(mid+,right,rt<<|);
    pushUp(rt);
}

void pushDown(int rt);
void update(int l,int r,int value,int rt) {
    if(l==tree[rt].left && tree[rt].right==r) {
        tree[rt].lazy=true;
        tree[rt].add=value;
        tree[rt].pow0=value*(((sum[r][]-sum[l-][])%mod+mod)%mod);
        tree[rt].pow1=value*(((sum[r][]-sum[l-][])%mod+mod)%mod);
        tree[rt].pow2=value*(((sum[r][]-sum[l-][])%mod+mod)%mod);
        tree[rt].pow3=value*(((sum[r][]-sum[l-][])%mod+mod)%mod);
        tree[rt].pow4=value*(((sum[r][]-sum[l-][])%mod+mod)%mod);
        tree[rt].pow5=value*(((sum[r][]-sum[l-][])%mod+mod)%mod);
        return;
    }
    pushDown(rt);

    int mid=(tree[rt].left+tree[rt].right)>>;
    if(r<=mid) {
        update(l,r,value,rt<<);
    } else if(l>mid) {
        update(l,r,value,rt<<|);
    } else {
        update(l,mid,value,rt<<);
        update(mid+,r,value,rt<<|);
    }
    pushUp(rt);

}

void pushDown(int rt) {
    if(tree[rt].lazy && tree[rt].left!=tree[rt].right) {
        tree[rt<<].lazy=tree[rt<<|].lazy=true;
        long long tmp=tree[rt].add;

        tree[rt<<].add=tree[rt].add;
        tree[rt<<|].add=tree[rt].add;

        int mid=(tree[rt].left+tree[rt].right)>>;
        //这里可以直接调用update方法对儿子进行更新
        update(tree[rt].left,mid,tmp,rt<<);
        update(mid+,tree[rt].right,tmp,rt<<|);  

        tree[rt].add=;
        tree[rt].lazy=false;
    }
}

long long query(int l,int r,int rt,int i) {
    if(l==tree[rt].left && tree[rt].right==r) {
        if(i==)
            return tree[rt].pow0;
        else if(i==)
            return tree[rt].pow1;
        else if(i==)
            return tree[rt].pow2;
        else if(i==)
            return tree[rt].pow3;
        else if(i==)
            return tree[rt].pow4;
        else if(i==)
            return tree[rt].pow5;
    }
    pushDown(rt);

    int mid=(tree[rt].left+tree[rt].right)>>;
    if(r<=mid) {
        return query(l,r,rt<<,i)%mod;
    } else if(l>mid) {
        return query(l,r,rt<<|,i)%mod;
    } else {
        return (query(l,mid,rt<<,i)+query(mid+,r,rt<<|,i))%mod;
    }
}

int main() {
    int x;
    char ch[];

    scanf("%d%d",&n,&m);
    init1();
    init2();

    build(,n,);
    for(int i=; i<=m; i++) {
        scanf("%s",ch);
        if(ch[]=='=') {
            scanf("%d%d%d",&L,&R,&x);
            update(L,R,x,);
        } else {
            scanf("%d%d%d",&L,&R,&k);
            ans=;

            //for(int i=0;i<=k;i++){
            for(int i=k; i>=; i--) {
                //ans=((ans+((query(L,R,1,i)*C[k][i]%mod)*S[L][k-i]%mod))%mod+mod)%mod;
                ans=(ans+((query(L,R,,i)*C[k][i]%mod)*S[L][k-i]%mod))%mod;

            }

            printf("%I64d\n",ans);
        }
    }
    return ;
}