WJMZBMR的题果然放在几年后看来仍然挺神,提出了一种独特的优化DP的方式

首先我们想一个暴力DP,先定下所有数的顺序(比如强制它递增),然后最后乘上\(n!\)种排列方式就是答案了

那么我们容易想出一个DP,令\(f_{i,j}\)表示前\(i\)个数中,最大的数小于等于\(j\)的方案数是多少

显然有转移:

\[f_{i,j}=f_{i-1,j-1}\times j+f_{i,j-1}
\]

但这样DP是\(O(nA)\)的,需要用拉格朗日插值进行优化,不会拉格朗日插值的可以看一下浅谈拉格朗日插值

在里面就提到了插值的一个关键点就是求出给定多项式的次数。因此我们观察\(f_{n,i}\),猜测它是关于\(i\)的\(t_n\)次多项式

那么我们把转移方程移项一下:

\[f_{i,j}-f_{i,j-1}=f_{i-1,j-1}\times j
\]

有差分和乘积的一些相关性质可以得出它们之间次数的关系:

\[t_n-1=t_{n-1}+1
\]

而当\(n=0\)时,有\(t_0=0\),所以容易推出\(t_n=2n\)

因此我们知道了\(f_{n,i}\)是关于\(i\)的\(2n\)次多项式,那么直接暴力DP求出\(f_{n,1}\)到\(f_{n,2n+1}\),然后插值出\(f(n,A)\)的值即可

CODE

#include<cstdio>
#define RI register int
#define CI const int&
using namespace std;
const int N=505;
int A,n,m,f[N][N<<1],g[N<<1],fact[N<<1],mod;
inline int sum(CI a,CI b)
{
int t=a+b; return t>=mod?t-mod:t;
}
inline int sub(CI a,CI b)
{
int t=a-b; return t<0?t+mod:t;
}
inline int quick_pow(int x,int p=mod-2,int mul=1)
{
for (;p;p>>=1,x=1LL*x*x%mod) if (p&1) mul=1LL*mul*x%mod; return mul;
}
inline void DP(CI n,CI m)
{
RI i,j; for (RI i=0;i<=m;++i) f[0][i]=1;
for (i=1;i<=n;++i) for (j=1;j<=m;++j)
f[i][j]=sum(1LL*f[i-1][j-1]*j%mod,f[i][j-1]);
}
inline int Lagerange(CI n,int *f,CI k)
{
if (k<=n) return f[k]; RI i; int ret=0,mt=1;
for (i=1;i<=n;++i) mt=1LL*mt*(k-i)%mod; for (i=1;i<=n;++i)
{
int tp=1LL*mt*quick_pow(k-i)%mod*f[i]%mod;
int dv=1LL*fact[i-1]*fact[n-i]%mod; tp=1LL*tp*quick_pow(dv)%mod;
if ((n-i)&1) ret=sub(ret,tp); else ret=sum(ret,tp);
}
return ret;
}
int main()
{
scanf("%d%d%d",&A,&n,&mod); DP(n,m=n<<1|1);
RI i; for (i=1;i<=m;++i) g[i]=f[n][i];
for (fact[0]=i=1;i<=m;++i) fact[i]=1LL*fact[i-1]*i%mod;
return printf("%d",1LL*Lagerange(m,g,A)*fact[n]%mod),0;
}

Luogu P4463 [国家集训队] calc的更多相关文章

  1. P4463 [国家集训队] calc(拉格朗日插值)

    传送门 设\(dp[i][j]\)为考虑\(i\)个数,其中最大值不超过\(j\)的答案,那么转移为\[dp[i][j]=dp[i-1][j-1]\times i\times j+dp[i][j-1] ...

  2. p4463 [国家集训队] calc

    分析 代码 #include<bits/stdc++.h> using namespace std; ][],Ans; inline int pw(int x,int p){ ; whil ...

  3. [国家集训队] calc(动规+拉格朗日插值法)

    题目 P4463 [国家集训队] calc 集训队的题目真是做不动呀\(\%>\_<\%\) 朴素方程 设\(f_{i,j}\)为前\(i\)个数值域\([1,j]\),且序列递增的总贡献 ...

  4. luogu P2757 [国家集训队]等差子序列

    题目链接 luogu P2757 [国家集训队]等差子序列 题解 线段树好题 我选择暴力 代码 // luogu-judger-enable-o2 #include<cstdio> inl ...

  5. luogu P2619 [国家集训队2]Tree I

    题目链接 luogu P2619 [国家集训队2]Tree I 题解 普通思路就不说了二分增量,生成树check 说一下坑点 二分时,若黑白边权有相同,因为权值相同优先选白边,若在最有增量时出现黑白等 ...

  6. [Luogu P1829] [国家集训队]Crash的数字表格 / JZPTAB (莫比乌斯反演)

    题面 传送门:洛咕 Solution 调到自闭,我好菜啊 为了方便讨论,以下式子\(m>=n\) 为了方便书写,以下式子中的除号均为向下取整 我们来颓柿子吧qwq 显然,题目让我们求: \(\l ...

  7. Luogu P1297 [国家集训队]单选错位

    P1297 [国家集训队]单选错位 题目背景 原 <网线切割>请前往P1577 题目描述 gx和lc去参加noip初赛,其中有一种题型叫单项选择题,顾名思义,只有一个选项是正确答案.试卷上 ...

  8. Luogu P2619 [国家集训队2]Tree I(WQS二分+最小生成树)

    P2619 [国家集训队2]Tree I 题意 题目描述 给你一个无向带权连通图,每条边是黑色或白色.让你求一棵最小权的恰好有\(need\)条白色边的生成树. 题目保证有解. 输入输出格式 输入格式 ...

  9. [国家集训队] calc

    嘟嘟嘟 这道题dp虽然不难,但是我还是没推出来,感觉最近脑子不太好用啊. 于是就跑去问神仙gjx(全国前三!)了.(外出集训真是好) 神仙不愧是神仙,一会儿就想出来了,而且方法还比网上的题解好懂. d ...

随机推荐

  1. 微信小程序开发之页面跳转并携带参数

    接口: wx.navigateTo({url:......})   保留当前页面,跳转到应用内指定URL页面,导航栏左上角有返回按钮 wx.redirecTo({url:.....})       关 ...

  2. iOS 使用cocoapods导入ReactiveCocoa和ReactiveObjC框架

    cocoapods使用 ReactiveObjC -- 对应的是RAC的OC版本,最新3.1.0版本. ReactiveCocoa--对应的是RAC的swift版本,最新7.1.0版本. 1.纯OC项 ...

  3. C++继承详解:共有(public)继承,私有(private)继承,保护(protected)继承

    公有继承(public).私有继承(private).保护继承(protected)是常用的三种继承方式. 1. 公有继承(public) 公有继承的特点是基类的公有成员和保护成员作为派生类的成员时, ...

  4. studio 配置 opencv3.1

    环境 win10 android studio2.0 OpenCV-3.1.0-android-sdk android-ndk-r10e-windows-x86_64 jdk-8u102-window ...

  5. Ogre 学习记录

    http://www.cppblog.com/richardhe/articles/55722.html 1: 设计初衷 它设计初衷是完全跨平台的.抽象的接口隐藏了平台相关的细节. 它设计初衷是大幅度 ...

  6. Django框架知识2

    1.Http消息格式: 1.请求(request): 请求方法 请求路径 HTTP/1.1\r\n k1:v1\r\n k2:v2\r\n \r\n 请求体正文 2.响应(response) HTTP ...

  7. perl 操作文件指针

    之前使用perl 脚本写了一个读取文件的小工具,但是由于当时使用的Tie 的方式,在处理大文件时,效率并不十分理想,所以在网上搜索了perl 如何操作文件指针的文章,自己也学习一下,本博客就是学习过程 ...

  8. webpack结合vue使用(五)

    webpack结合vue使用步骤如下: 安装 vue 的包 : cnpm i vue -S 由于在 webpack 中,锐减使用 .vue 这个组件模板文件定义组件,所以需要安装能解析这种文件的第三方 ...

  9. C 语言实例 - 字符串复制

    C 语言实例 - 字符串复制 C 语言实例 C 语言实例 将一个变量的字符串复制到另外一个变量中. 实例 - 使用 strcpy() #include <stdio.h> #include ...

  10. Jquery | 基础 | 事件的链式写法

    $(".title").click(function () { $(this).addClass("curcol").next(".content&q ...