一道背包神题-Petrozavodsk Winter-2018. Carnegie Mellon U Contest Problem I

题目描述

有\(n\)个物品，每个物品有一个体积\(v_i\)，背包容量\(s\)。要求选一些物品恰好装满背包且物品个数最少，并在这样的方案中：

（1）求出中位数最小的方案的中位数（\(k\)个元素的中位数是从小到大第\(⌊k/2⌋\)个数）；

（2）求出众数最小的方案的众数；

（3）求出极差最小的方案的极差。

解题思路

令每个物品价值为1，求装满时的最小价值，这只需01背包即可，答案即为最小个数\(m\)。

对于众数，二分答案并删去多余物品即可。

对于中位数，二分答案，令每个物品价值为\(inf+t\)，其中体积大于二分的答案时\(t\)为1，否则为-1。同样求出装满时最小价值，若超过\(m\times inf\)则真正答案更大，否则更小。正确性是因为任意时刻，\(dp_i\)保存的值若要求最优，首先要保证取的个数是最少的（否则没有意义），在此条件下尽可能少取体积大的物品。而全局最优答案必然由局部最优答案转移（可反证）。

对于极差，考虑从小到大加入物品，每个物品价值\(inf\)，但是若该物品第一次加入背包则价值\(inf-v_i\)。每加完一个物品\(i\)更新完\(dp\)后，求\(dp_s+v_i\)。所有值取最小即可。

时间复杂度\(O(ns \log n)\)

一些感受

根据以上思路，除了极差部分可全部转化为普通01背包，大大减小了代码量（仅60行）。极差部分也非常好写，详见代码。

可惜比赛时没想出来！赛后过了若干天补题时想了一会就出来了（生气~）。最后，这道题质量真是太高啦！“题出的好！难度适中，覆盖知识点广，题目又着切合实际的背景，解法比较自然。给出题人点赞！”

AC代码

 #include<cstdio>
 #include<algorithm>
 #include<cstring>
 using namespace std;
 #define MAXV 5001
 #define INF 10001
 int dp[MAXV];
 int v[], c[];
 int solve(int n, int s)
 {
     memset(dp, 0x3f, sizeof(dp));
     dp[] = ;
     for (int i = ; i < n; i++){
         for (int j = s; j >= v[i]; j--)
             dp[j] = min(dp[j], dp[j - v[i]] + c[i]);
     }
     return dp[s];
 }
 int solve2(int n, int s)
 {
     memset(dp, 0x3f, sizeof(dp));
     dp[] = ;
     int ans = 0x3fffffff;
     for (int i = ; i < n; i++){
         for (int j = s; j > v[i]; j--)
             dp[j] = min(dp[j], dp[j - v[i]] + INF);
         dp[v[i]] = min(dp[v[i]], INF - v[i]);
         ans = min(ans, dp[s] + v[i]);
     }
     return ans % INF;
 }
 int main()
 {
     int n, s;
     scanf("%d%d", &n, &s);
     for (int i = ; i < n; i++){
         scanf("%d", &v[i]);
         c[i] = ;
     }
     sort(v, v + n);
     int num = solve(n, s), l, r;
     if (num > n){ printf("-1"); return ; }
     printf("%.9lf ", (double)s / num);
     for (l = , r = n - ; l != r;){
         int mid = (l + r) >> , w = v[mid];
         for (int i = ; i < n; i++)
             c[i] = INF + (v[i] > w ?  : -);
         if (solve(n, s) > INF * num)l = mid + ;
         else r = mid;
     }
     printf("%d ", v[l]);
     for (l = , r = n; l != r;){
         int mid = (l + r) >> ;
         for (int i = , j; i < n; i++){
             j = !i || v[i] != v[i - ] ?  : j + ;
             c[i] = j <= mid ?  : INF;
         }
         if (solve(n, s) > num)l = mid + ;
         else r = mid;
     }
     printf("%d ", l);
     printf("%d", solve2(n, s));
     return ;
 }