【BZOJ 5222】[Lydsy2017省队十连测]怪题

题目大意：

　　传送门

　　给一个长度为$n（n<=200）$的数列$h$，再给$m$个可以无限使用的操作，第$i$个操作为给长度为花费$c_i$的价值给长度为$l_i$的数列子序列+1或-1，求将数列变为不下降数列的最小花费。

题解：

第一部分（上下界最小费用可行流）：　　

　　设$h_0=-inf,h_{n+1}=inf$，令$a$为$h$的差分数组，即$a_i=h_{i}-h_{i-1}$。考虑当对于区间$[l,r]$操作时（比如+1），相当于$a_{r+1}$减少1,$a_{l}$增加1。若将$a$数组看做点集，这个变化相当于从$r+1$到$l$的一条流量为$1$的有向边，反之（-1）亦然。

　　显然问题相当于把$a$数组元素均变为 不为0。那么我们由S向$a_{i}>0$的位置连$flow=[0,a_{i}],cost=0$的边，表示${i}$可以减少流量上下界，对于$a_{i}<0$的位置，我们至少要使其增加$-a_i$所以我们向$T$连$flow=[-a_i,inf]，cost=0$的边。对于每个操作我们由于可无限使用我们就给所有合法位置连$flow=[0,inf],cost=c_{i}$的边，然后我们可以跑一个上下界解决问题。

　　等等，这样的确解决了问题，不过我们观察一下这个图，会发现上下界源点只连向了$T$，而上下界汇点只被那些$a_{i}<0$的点连接到。

　　我们把这个图转化一下，会发现对于上面的建图方式，我们只把$a_{i}<0$的边建成$flow=-a_i，cost=0$的边即可，根本不需要跑上下界。这就是另外一种思考方式。

第二部分（最小费用最大流）：

　　我们考虑那些$a_{i}<0$的点变为$0$一定比使其变为任一整数更优秀，同时这也是我们的判断有没有解的依据。

　　所以我们就直接由$a_{i}<0$的点连向$T$的边为$flow=-a_i,cost=0$即可，如果所有连向$T$的边都流满，说明有解，同时由于上述性质，一定是最优解。

　　

　　不过这两个时间复杂度并没有太大区别。

代码：

 #include "bits/stdc++.h"

 using namespace std;

 #define inf 0x3f3f3f3f

 inline int read() {
     int s=,k=;char ch=getchar ();
     while (ch<''|ch>'') ch=='-'?k=-:,ch=getchar();
     while (ch>&ch<='') s=s*+(ch^),ch=getchar();
     return s*k;
 }

 const int N=1e3+;

 struct edges {
     int v,cap,cost;edges *pair,*last;
 }edge[N*N],*head[N];int cnt;

 inline void push(int u,int v,int cap,int cost) {
     edge[++cnt]=(edges){v,cap,cost,edge+cnt+,head[u]},head[u]=edge+cnt;
     edge[++cnt]=(edges){u,,-cost,edge+cnt-,head[v]},head[v]=edge+cnt;
 }

 int S,T,ss,tt,n,fl,m;
 int piS,vis[N];
 long long cost;

 inline int aug(int x,int w) {
     if (x==T) return cost+=1ll*piS*w,fl+=w,w;
     vis[x]=true;
     int ret=;
     for (edges *i=head[x];i;i=i->last)
         if (i->cap&&!i->cost&&!vis[i->v])   {
             int flow=aug(i->v,min(i->cap,w));
             i->cap-=flow,i->pair->cap+=flow,ret+=flow,w-=flow;
             if (!w) break;
         }
     return ret;
 }

 inline bool modlabel() {
     static int d[N];
     memset(d,0x3f,sizeof d);d[T]=;
     static deque<int> q;q.push_back(T);
     int dt;
     while (!q.empty()) {
         int x=q.front();q.pop_front();
         for (edges *i=head[x];i;i=i->last)
             if (i->pair->cap&&(dt=d[x]-i->cost)<d[i->v])
                 (d[i->v]=dt)<=d[q.size()?q.front():]
                     ?q.push_front(i->v):q.push_back(i->v);
     }
     for (int i=S;i<=T;++i)
         for (edges *j=head[i];j;j=j->last)
             j->cost+=d[j->v]-d[i];
     piS+=d[S];
     return d[S]<inf;
 }

 inline void solve() {
     piS = cost = ;
     while(modlabel())
         do memset(vis,,sizeof vis);
     while(aug(S, inf));
 }

 int h[N],a[N],c[N],l[N],typ[N];
 int f[N],g[N];

 int main(){
     n=read(),m=read();
     for (int i=;i<=n;++i)
         h[i]=read();
     for (int i=n;i>;--i)
         h[i]=h[i]-h[i-];
     h[]=inf,h[n+]=inf;
     ss=n+,tt=ss+,T=tt+;
     char opt[];
     for (int i=;i<=m;++i) {
         scanf("%s",opt),l[i]=read(),c[i]=read();
         typ[i]=opt[]=='+';
     }
     ++n;
     for (int i=;i<=n;++i)
         if (h[i] > )
             push(ss,i,h[i],);
         else if(h[i]<)  push(i,tt,inf,),a[i]=-h[i],a[tt]+=h[i],push(i,T,a[i],);
     push(tt,ss,inf,);
     push(S,tt,-a[tt],);
     memset(f,0x3f,sizeof(f));
     f[]=;
     memcpy(g,f,sizeof g);
     for (int j=;j<=m;++j)
         for (int k=l[j];k<=n;k+=l[j])
             if(typ[j])
                 for (int i=n-;i>=l[j];--i)
                     f[i]=min(f[i],f[i-l[j]]+c[j]);
             else
                 for (int i=n-;i>=l[j];--i)
                     g[i]=min(g[i],g[i-l[j]]+c[j]);
     // puts()
     for (int j=;j<=m;++j)
         if (typ[j]){
             if (f[l[j]]==c[j])
                 for (int i=l[j]+;i<=n;++i)
                     push(i,i-l[j],inf,c[j]);
         }else
             if (g[l[j]]==c[j])
                 for (int i=;i+l[j]<=n;++i)
                     push(i,i+l[j],inf,c[j]);
     solve();
     if (fl==-a[tt])
         printf("%lld\n",cost);
     else puts("-1");
 }

上下界

 #include "bits/stdc++.h"

 using namespace std;

 #define inf 0x3f3f3f3f

 inline int read() {
     int s=,k=;char ch=getchar ();
     while (ch<''|ch>'') ch=='-'?k=-:,ch=getchar();
     while (ch>&ch<='') s=s*+(ch^),ch=getchar();
     return s*k;
 }

 const int N=1e3+;

 struct edges {
     int v,cap,cost;edges *pair,*last;
 }edge[N*N],*head[N];int cnt;

 inline void push(int u,int v,int cap,int cost) {
     edge[++cnt]=(edges){v,cap,cost,edge+cnt+,head[u]},head[u]=edge+cnt;
     edge[++cnt]=(edges){u,,-cost,edge+cnt-,head[v]},head[v]=edge+cnt;
 }

 int S,T,ss,tt,n,fl,m;
 int piS,vis[N];
 long long cost;

 inline int aug(int x,int w) {
     if (x==T) return cost+=1ll*piS*w,fl+=w,w;
     vis[x]=true;
     int ret=;
     for (edges *i=head[x];i;i=i->last)
         if (i->cap&&!i->cost&&!vis[i->v])   {
             int flow=aug(i->v,min(i->cap,w));
             i->cap-=flow,i->pair->cap+=flow,ret+=flow,w-=flow;
             if (!w) break;
         }
     return ret;
 }

 inline bool modlabel() {
     static int d[N];
     memset(d,0x3f,sizeof d);d[T]=;
     static deque<int> q;q.push_back(T);
     int dt;
     while (!q.empty()) {
         int x=q.front();q.pop_front();
         for (edges *i=head[x];i;i=i->last)
             if (i->pair->cap&&(dt=d[x]-i->cost)<d[i->v])
                 (d[i->v]=dt)<=d[q.size()?q.front():]
                     ?q.push_front(i->v):q.push_back(i->v);
     }
     for (int i=S;i<=T;++i)
         for (edges *j=head[i];j;j=j->last)
             j->cost+=d[j->v]-d[i];
     piS+=d[S];
     return d[S]<inf;
 }

 inline void solve() {
     piS = cost = ;
     while(modlabel())
         do memset(vis,,sizeof vis);
     while(aug(S, inf));
 }

 int h[N],a[N],c[N],l[N],typ[N];
 int f[N],g[N];

 int main(){
     n=read(),m=read();
     for (int i=;i<=n;++i)
         h[i]=read();
     for (int i=n;i>;--i)
         h[i]=h[i]-h[i-];
     h[]=inf,h[n+]=inf;
     // ss=n+2,tt=ss+1,T=tt+1;
     char opt[];
     for (int i=;i<=m;++i) {
         scanf("%s",opt),l[i]=read(),c[i]=read();
         typ[i]=opt[]=='+';
     }
     ++n;T=n+;
     for (int i=;i<=n;++i)
         if (h[i] > )
             push(S,i,h[i],);
         else if(h[i]<)  push(i,T,-h[i],),a[tt]+=h[i];//,push(i,T,a[i],0);
     // push(tt,ss,inf,0);
     // push(S,tt,-a[tt],0);
     memset(f,0x3f,sizeof(f));
     f[]=;
     memcpy(g,f,sizeof g);
     for (int j=;j<=m;++j)
         for (int k=l[j];k<=n;k+=l[j])
             if(typ[j])
                 for (int i=n-;i>=l[j];--i)
                     f[i]=min(f[i],f[i-l[j]]+c[j]);
             else
                 for (int i=n-;i>=l[j];--i)
                     g[i]=min(g[i],g[i-l[j]]+c[j]);
     for (int j=;j<=m;++j)
         if (typ[j]){
             if (f[l[j]]==c[j])
                 for (int i=l[j]+;i<=n;++i)
                     push(i,i-l[j],inf,c[j]);
         }else
             if (g[l[j]]==c[j])
                 for (int i=;i+l[j]<=n;++i)
                     push(i,i+l[j],inf,c[j]);
     solve();
     // printf("%d %d\n",fl);
     if (fl==-a[tt])
         printf("%lld\n",cost);
     else puts("-1");
 }

最大流