[模板] 容斥原理: 二项式反演 / Stirling 反演 / min-max 容斥 / 子集反演 / 莫比乌斯反演

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反演原理

二项式反演

若

\[g_i=\sum_{j=1}^i {\binom ij} f_j\]

, 则有

\[ f_i=\sum_{j=1}^i (-1)^{i-j} {i \choose j} g_j \]

同时, 若

\[g_i=\sum_{j=1}^i (-1)^j {i \choose j} f_j\]

, 则有

\[f_i=\sum_{j=1}^i (-1)^j {i \choose j} g_j\]

通过反演原理和组合数的性质不难证明.

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Stirling 反演

Min-Max 容斥

形式

Min-Max 容斥 (最值反演) 是对集合的 \(\min()\) 和 \(\max()\) 函数的容斥.

设 \(S\) 为一个集合, \(min()\) 和 \(max()\) 为集合的最小/最大元素, 那么有

\[\max(S)=\sum_{T \subseteq S}(-1)^{|T|-1}\min(T)\]

\[\min(S)=\sum_{T \subseteq S}(-1)^{|T|-1}\max(T)\]

证明

引理: 在n(n > 0)个数中选奇数个和选偶数个的方案数相同, 即

\[\sum _{i=0}^n (-1)^i \binom{n}{i} = [n = 0]\]

这可以通过对 \(n\) 的奇偶性分类讨论来证明.

对于第一个式子, 只需枚举 \(\min(T)\), 发现除了 \(\max(S)\) 之外的元素系数都为 \(0\), 因此得证.

第二个式子类似.

事实上, 这两个式子也可以通过反演原理直接得到: Min-Max容斥学习笔记 | LNRBHAW

这两个式子在期望意义下也是对的: 设 \(E(x)\) 表示元素 \(x\) 出现的期望操作次数, 那么

\[E(\max(S))=\sum_{T \subseteq S}(-1)^{|T|-1}E(\min(T))\]

\[E(\min(S))=\sum_{T \subseteq S}(-1)^{|T|-1}E(\max(T))\]

对于一些题而言, 往往把元素的值设为它的出现时间. 那么, \(E(\max(S))\) 就表示 \(S\) 中所有元素都出现的期望操作次数, \(E(\min(S))\) 就表示 \(S\) 中出现任意元素的期望操作次数.

kth Min-Max

上式的推广.

设 \(kth\max (S)\) 表示 \(S\) 的第 \(k\) 大元素, 则

\[ kth\max(S)=\sum_{T \subseteq S} (-1)^{|T|-k} {|T|-1 \choose k-1} \min(T) \]

证明过程与上面类似.

同样, 它在期望意义下也是对的.

题目

• hdu4336 Card Collector
• hdu4624 Endless Spin
• luogu3175 [HAOI2015]按位或
• loj2542 「PKUWC 2018」随机游走
• luogu4707 重返现世

子集反演

莫比乌斯反演

设数论函数 \(F(x)\), \(f(x)\),

• 若\(F(n)=\sum_{d|n}f(d)\), 则有
  \[ f(n)=\sum_{d|n}\mu(d)F(\frac{n}{d}) \]
• 若\(F(n)=\sum_{n|d}f(d)\)
  \[f(n)=\sum_{n|d}\mu(\frac{d}{n})F(d)\]

但是其实更常用的还是这个
\[\sum_{d|n}\mu(d)=[n=1]\]

参考资料

https://www.cnblogs.com/Mr-Spade/p/9636968.html

https://lnrbhaw.github.io/2019/01/05/Min-Max%E5%AE%B9%E6%96%A5%E5%AD%A6%E4%B9%A0%E7%AC%94%E8%AE%B0/

https://www.cnblogs.com/ljq-despair/p/8678855.html

https://www.cnblogs.com/Mr-Spade/p/9638430.html

https://changxv.coding.me/2018/07/10/%E5%90%84%E7%A7%8D%E5%8F%8D%E6%BC%94/

反演魔术：反演原理及二项式反演 – Miskcoo's Space