51Nod 1196 字符串的数量

用N个不同的字符（编号1 - N），组成一个字符串，有如下要求：

(1) 对于编号为i的字符，如果2 * i > n，则该字符可以作为结尾字符。如果不作为结尾字符而是中间的字符，则该字符后面可以接任意字符。

(2) 对于编号为i的字符，如果2 * i <= n，则该字符不可以作为结尾字符。作为中间字符，那么后面接的字符编号一定要 >= 2 * i。

问有多少长度为M且符合条件的字符串，由于数据很大，只需要输出该数Mod 10^9 + 7的结果。

例如：N = 2，M = 3。则abb, bab, bbb是符合条件的字符串，剩下的均为不符合条件的字符串。

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解题报告:

用时:1h30min,1WA

这题参考了题解定义的状态,\(f[i]\)表示长度为i的合法字符串方案数，\(g[i]\)表示长度为i的字符链的方案数，字符链表示以\(2*i>n\)的字符为结尾的字符串，其中\(2*i>n\)的字符有且仅有一个，这样可以保证不重复计算，容易发现转移:

\(f[i]=\sum_{j=1}^{n}f[i-j]*g[j]\)

我们会发现\(g[j]\)最多长度为\(logn\)，所以可以直接暴力转移，复杂度\(O(nlogn)\)

以下是乱搞:

但是对于\(g[i]\)我们也需要预处理出:

定义\(p[i][j]\)为长度为\(i\)的以j结尾的字符的方案数,显然:

\(p[i][j]=\sum_{k=1}^{j/2}p[i-1][k]\)

这里我们可以记前缀和优化，递推依然是\(O(nlogn)\)

\(g[i]=\sum_{j=1}^{n/2}p[i][j]\)

均摊复杂度\(O(nlogn)\)

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#define RG register
#define il inline
#define iter iterator
#define Max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
#define Min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod=1e9+7,N=1e6+5;
int n,m,maxlen,p[22][N],sum[N];ll g[N],f[N];
void work()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	maxlen=log(m)/log(2)+2;
	sum[0]=1;
	for(int i=1;i<=maxlen;i++){
		if(i!=1)sum[0]=0;
		for(int j=1;j<=n;j++){
			sum[j]=sum[j-1]+p[i-1][j];
			if(sum[j]>=mod)sum[j]-=mod;
		}
		for(int j=1;j<=n;j++){
			p[i][j]+=sum[j/2];
			if(p[i][j]>=mod)p[i][j]-=mod;
		}
	}
	for(int i=1;i<=maxlen;i++){
		for(int j=n/2+1;j<=n;j++)
			{
				g[i]+=p[i][j];
				if(g[i]>=mod)g[i]-=mod;
			}
	}
	f[0]=1;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		for(int j=1;j<=maxlen && j<=i;j++)
			f[i]+=g[j]*f[i-j],f[i]%=mod;
	}
	printf("%lld\n",f[m]);
}

int main()
{
	work();
	return 0;
}