【bzoj5210】最大连通子块和 动态dp

动态$dp$好题

考虑用树链剖分将整棵树剖成若干条链。

设x的重儿子为$son[x]$，设$x$所在链链头为$top[x]$

对于重链上的每个节点（不妨设该节点编号为$x$）令$f[x]$表示以$x$为根的子树内（除以$son[x]$为根的子树），包含节点$x$的联通块的最大权值和。

我们求出一条重链上每个节点的f值后，考虑如何求出以$top[x]$为根的子树内的最大联通快。

我们考虑用线段树来合并每一个f值。我们用线段树维护四个值：

$sum$，该区间内所有$f$值的总和

$suml$，以该区间左端点为起点的所有区间中，权值最大区间权值。

$sumr$，以该区间右端点为七点的所有区间中，权值最大区间权值。

$ans$，该区间内所有区间的最大值

简单pushup一下就可以维护了。

考虑如何询问以x为根子树内的最大值，我们通过一遍dfs求出该树的dfs序，直接在线段树上查询即可。

注意n个INF相加可能会爆long long

#include<bits/stdc++.h>
#define M 400005
#define mid ((a[x].l+a[x].r)>>1)
#define L long long
#define INF (1LL<<50)
using namespace std;

struct edge{int u,next;}e[M*]={}; int head[M]={},use=;
void add(L x,L y){use++;e[use].u=y;e[use].next=head[x];head[x]=use;}
L val[M]={},f[M]={},g[M]={};
int fa[M]={},siz[M]={},son[M]={},dfn[M]={},low[M]={},top[M]={},dn[M]={},rec[M]={},t=;
void dfs(L x){
    siz[x]=; f[x]=val[x];
    for(L i=head[x];i;i=e[i].next) if(e[i].u!=fa[x]){
        fa[e[i].u]=x; dfs(e[i].u);
        f[x]+=f[e[i].u];
        g[x]=max(g[x],g[e[i].u]);
        siz[x]+=siz[e[i].u];
        if(siz[son[x]]<siz[e[i].u]) son[x]=e[i].u;
    }
    f[x]=max(f[x],0LL);
    g[x]=max(g[x],f[x]);
}
void dfs(L x,L Top){
    top[x]=Top; dfn[x]=++t; rec[t]=x;
    if(son[x]) dfs(son[x],Top),dn[x]=dn[son[x]]; else dn[x]=x,t++;
    for(L i=head[x];i;i=e[i].next) if(e[i].u!=fa[x]&&e[i].u!=son[x]) dfs(e[i].u,e[i].u);
    low[x]=t;
}

struct mat{
    L ans,suml,sumr,sum;
    mat(){suml=sumr=ans=sum=;}
    mat(L Ans,L Suml,L Sumr,L Sum){ans=Ans; suml=Suml; sumr=Sumr; sum=Sum;}
    friend mat operator *(mat a,mat b){
        mat c;
        c.ans=max(a.sumr+b.suml,max(a.ans,b.ans));
        c.suml=max(a.suml,a.sum+b.suml);
        c.sumr=max(a.sumr+b.sum,b.sumr);
        c.sum=a.sum+b.sum;
        c.sum=max(c.sum,-INF);
        return c;
    }
}wei[M];

struct seg{L l,r; mat a;}a[M<<];
void pushup(L x){a[x].a=a[x<<].a*a[x<<|].a;}
void build(L x,L l,L r){
    a[x].l=l; a[x].r=r;
    if(l==r){
        L u=rec[l],sum=val[u];
        if(u==){
            a[x].a=mat(,,,-INF);
            return;
        }
        for(L i=head[u];i;i=e[i].next)
        if(e[i].u!=fa[u]&&e[i].u!=son[u]){
            sum+=f[e[i].u];
        }
        a[x].a=wei[l]=mat(max(sum,0LL),max(sum,0LL),max(sum,0LL),sum);
        return;
    }
    build(x<<,l,mid); build(x<<|,mid+,r);
    pushup(x);
}
mat query(L x,L l,L r){
    if(l<=a[x].l&&a[x].r<=r) return a[x].a;
    if(r<=mid) return query(x<<,l,r);
    if(mid<l) return query(x<<|,l,r);
    return query(x<<,l,r)*query(x<<|,l,r);
}
mat query(L x){return query(,dfn[top[x]],dfn[dn[x]]);}
void updata(L x,L k){
    if(a[x].l==a[x].r) return void(a[x].a=wei[k]);
    if(k<=mid) updata(x<<,k); else updata(x<<|,k);
    pushup(x);
}

void Updata(L x,L Val){
    L cha=Val-val[x]; val[x]=Val;
    L hh=(wei[dfn[x]].sum+=cha);
    wei[dfn[x]]=mat(max(hh,0LL),max(hh,0LL),max(hh,0LL),hh);
    while(x){
        mat last=query(x);
        updata(,dfn[x]);
        mat now=query(x);
        x=fa[top[x]]; if(!x) return;

        cha=now.suml-last.suml;
        hh=(wei[dfn[x]].sum+=cha);
        wei[dfn[x]]=mat(max(hh,0LL),max(hh,0LL),max(hh,0LL),hh);
    }
}

L n,m;
main(){
    //freopen("in.txt","r",stdin);
    //freopen("out.txt","w",stdout);
    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    for(L i=;i<=n;i++) scanf("%lld",val+i);
    for(L i=,x,y;i<n;i++) scanf("%lld%lld",&x,&y),add(x,y),add(y,x);
    dfs();
    dfs(,);
    build(,,t);
    while(m--){
        char op[]; L x,y;
        scanf("%s%lld",op,&x);
        if(op[]=='Q'){
            mat hh=query(,dfn[x],low[x]);
            printf("%lld\n",hh.ans);
        }else{
            scanf("%lld",&y);
            Updata(x,y);
        }
    }
}