【BZOJ 2323】 2323: [ZJOI2011]细胞 （DP+矩阵乘法+快速幂*）

2323: [ZJOI2011]细胞

Description

2222年，人类在银河系外的某颗星球上发现了生命，并且携带了一个细胞回到了地球。经过反复研究，人类已经完全掌握了这类细胞的发展规律：

这种细胞最初的形态是“长条形”，一端是头，一端是尾，中间是躯干。细胞内部含有一列密码（你可以认为它是这种细胞的DNA）。密码是一个长度为n的数字串，且仅含有1~9这9种数字，沿着细胞的躯干从头到尾排列着。

首先，细胞会经历一次分裂。细胞将沿躯干方向分裂成若干个球体，躯干将退化成丝状物，连接着相邻的球体。在分裂过程中，质量是均匀分布的。换句话说，若分裂成k个球体，每个球体的质量为原来的1/k。然而，密码的分布是不确定的。若分割成k个球体，密码会被切割成k段（每段长度至少为1），并按从头到尾的顺序分布在各个球体中。如图，为其中一种合法的一次分裂：

接下来，细胞会经历二次分裂。对于每个球体，其中会含有一小段密码（注意他是有序的），我们把它看作一个十进制的数T。这个球体会被分割成T个小球体，并排成一排，之间用躯干退化成的丝状物相连接，并且质量仍然是均匀分布的，每个小球体的质量都是原球体的1/T。至此，密码已经发挥了它的作用，便消失了。如图，为二次分裂：

最后，细胞会进行变异。相邻小球体之间的丝状物可能会退化掉，这两个小球体便会以相切的方式直接连接。显然，二次分裂后，除两端外的每个小球体都有两段丝状物与其连接（头尾两端的小球体只有一段丝状物与其相连）。对于每个小球体，必须至少退化一段与其相连的丝状物，否则这个结构不稳定，会继续变异。如图，为一种稳定的变异：

现在，我们想知道，对于一个给定密码的细胞，总共有多少种稳定的结构。两种结构被认为相同，当且仅当他们拥有相同个数的小球体，从头到尾每个小球体的质量相同，并且从头到尾每对相邻小球体之间的连接方式相同（都是通过丝状物相连或都是通过相切直接相连）。你只需要回答这个结果 mod 1000000007即可。

Input

第一行为一个正整数n，表示细胞密码的长度。

第二行共n个数字，为给定的细胞密码，中间没有空格。

Output

只包含一个整数，为细胞的种数 mod 1000000007的结果。

Sample Input

【样例输入一】

1

1

【样例输入二】

1

5

【样例输入三】

2

11

Sample Output

【样例输出一】

0

【样例输出二】

3

【样例输出三】

56

HINT

【数据规模】

对于5%的数据满足，n ≤ 6；

对于25%的数据满足，n ≤ 25；

对于60%的数据满足，n ≤ 100；

对于70%的数据满足，n ≤ 300；

对于100%的数据满足，n ≤ 1 000。

Source

Day2

【分析】

　　好题？

　　感谢数学试卷让我发现了这个可爱的斐波那契数列。。【hhh

　　然后【矩阵的指数不能mod phi[p]? 。。被奥爷爷d了。。。。

　　首先，第一步或第三步不同，则出来的结果一定不同【自己想为什么吧、、我就是这样觉得的

　　对于第三步，他说一个球两边一定有一边被缩了，其实就是n条边，让你选若干条不缩的边，他们不相邻（因为两端的点是有一条边，所以两端的边是不能选的）

　　这个模型就是数学试卷上的经典模型？f[n]=f[n-1]+f[n-2]，就是枚举第n个选还是不选，就是斐波那契数列。

　　第三步的判断就搞定了。

　　对于第一第二步，就是把这个大数字分成很多部分，套上第三步的方案加入答案中，这个可以用DP处理。

　　f[x][0]表示x前面那条边没有选，

　　f[x][1]表示x前面那条边选了。

　　f[i][0]=f[i][0]+f[j][0]*F[nw-3]+f[j][1]*F[nw-2]

　　f[i][1]=f[i][1]+f[j][0]*F[nw-2]+f[j][1]*F[nw-1]

　　//F表示斐波那契数列， nw表示j+1~i表示的数。

　　然后问题来了，F[nw???]怎么求，nw是个极大的数额。。

　　【一开始我以为矩阵幂的指数可以mod phi 还乐呵呵地打了。。。

　　其实可以预处理，但是传统的快速幂的话，貌似，挺慢？？而且你要高精？？

　　传统的快速幂是以2为底的快速幂，他给你的高精数是10进制下的，不如把快速幂改成10为底的，那么你可以发现，有些过程可以合并，比如你算[l,r]的f，中间已经算了[l,r-1]的部分。

　　所以预处理就是O（n^2*一个不知道多大的常数）

　　好像别人打的都挺快的。。。可以看看其他解法：http://www.cnblogs.com/cghAndy/p/6594538.html

　　总时间复杂度：O（n^2*一个不知道多大的常数）

 #include<cstdio>
 #include<cstdlib>
 #include<cstring>
 #include<iostream>
 #include<algorithm>
 using namespace std;
 #define LL long long
 #define Mod 1000000007
 #define Maxn 1010

 int n;

 struct node
 {
     LL w[][];
 }t[],tt[];

 LL a[Maxn],f[Maxn][];
 char s[Maxn];

 void mul(int z,int x,int y)
 {
     t[]=tt[];
     for(int k=;k<=;k++)
      for(int i=;i<=;i++)
       for(int j=;j<=;j++)
         t[].w[i][j]=(t[].w[i][j]+t[x].w[i][k]*t[y].w[k][j])%Mod;
     t[z]=t[];
 }

 void qpow(int x,int b)
 {
     t[]=tt[];
     while(b)
     {
         if(b&) mul(,x,);
         mul(x,x,x);
         b>>=;
     }
     t[x]=t[];
 }

 LL B[Maxn][Maxn][];

 LL get_f(int x)
 {
     t[]=tt[];
     t[]=tt[];
     for(int i=x;i<=n;i++)
     {
         qpow(,);
         t[]=t[];
         qpow(,a[i]);
         // mul(4,a[i]-10,4);

         t[]=t[];
         B[x][i][]=t[].w[][];
         mul(,,);
         B[x][i][]=t[].w[][];
         mul(,,);
         B[x][i][]=t[].w[][];
     }
 }

 void init()
 {
     tt[].w[][]=;tt[].w[][]=;
     tt[].w[][]=;tt[].w[][]=;

     tt[].w[][]=;tt[].w[][]=;
     tt[].w[][]=;tt[].w[][]=;

     tt[].w[][]=;tt[].w[][]=;
     tt[].w[][]=;tt[].w[][]=;

     t[]=tt[];t[]=tt[];
     for(int i=;i<=;i++)
     {
         mul(i,i-,);
     }
 }

 int main()
 {
     init();
     scanf("%d",&n);
     scanf("%s",s+);
     for(int i=;i<=n;i++) a[i]=s[i]-'';

     memset(f,,sizeof(f));
     f[][]=;

     int i,j,k;
     for(i=;i<=n;i++) get_f(i);

     for(i=;i<=n;i++)
      for(j=;j<i;j++)
       {
           f[i][]=f[i][]+f[j][]*B[j+][i][];f[i][]%=Mod;
           f[i][]=f[i][]+f[j][]*B[j+][i][];f[i][]%=Mod;
           f[i][]=f[i][]+f[j][]*B[j+][i][];f[i][]%=Mod;
           f[i][]=f[i][]+f[j][]*B[j+][i][];f[i][]%=Mod;

       }
     printf("%d\n",f[n][]);
     return ;
 }

2017-03-21 21:16:25